1987-全国文-04 单-复数的三角形式与辐角

本题导读

本题考查复数三角形式的辐角，需将实虚部配成 $\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 复数 $\sin 40^{\circ }-\mathrm{i}\cos 40^{\circ }$ 的辐角为()

A. $40^{\circ }$　　　　　　　　B. $140^{\circ }$　　　　　　　　C. $220^{\circ }$　　　　　　　　D. $310^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin 40^{\circ }-\mathrm{i}\cos 40^{\circ }=\cos 310^{\circ }+\mathrm{i}\sin 310^{\circ }$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\sin 40^{\circ }-\mathrm{i}\cos 40^{\circ }=\cos (270^{\circ }+40^{\circ })+\mathrm{i}\sin (270^{\circ }+40^{\circ })=\cos 310^{\circ }+\mathrm{i}\sin 310^{\circ }$，辐角为 $310^{\circ }$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形式与辐角

核心方法：$\sin 40^{\circ }-\mathrm{i}\cos 40^{\circ }=\cos (270^{\circ }+40^{\circ })+\mathrm{i}\sin (270^{\circ }+40^{\circ })$，辐角 $310^{\circ }$。

避坑指南：注意 $\sin 40^{\circ }=\cos 50^{\circ }$ 需化为标准 $\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$ 形式求辐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数三角形式辐角的确定。

结论推广：$\sin \theta -\mathrm{i}\cos \theta =\cos (\frac{3\pi }{2}+\theta )+\mathrm{i}\sin (\frac{3\pi }{2}+\theta )$。

方法推广：将实虚部配成 $\cos +\mathrm{i}\sin$ 标准式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-01 单-复数的乘方
• 1988-全国文-16 填-复数的模与辐角主值
• 1989-全国文-19 解-复数的模与辐角