1986-全国文-13 填-旋转体的体积

本题导读

本题考查平面图形绕坐标轴旋转一周所得旋转体的体积。核心在于把旋转体分解为基本立体。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 在 $xOy$ 平面上，四边形 $ABCD$ 的四个顶点坐标依次为 $(0,0)$、$(1,0)$、$(2,1)$ 及 $(0,3)$，求这个四边形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的几何体的体积.（★校勘：本卷重排原卷 PDF 误作”△ABC $(0,0),(1,0),(0,3)$“，官方多源（含评分答案 $\frac{25\pi }{3}$）均为四边形版，不采.）

🔍【思路分析】

破题导航

旋转体 $=$ 高 3 底半径 3 的大圆锥挖去两个底半径 1 高 1 的小圆锥；或圆台挖去一个圆锥。

✅【答案】

Success

$\frac{25\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

边界 $CD$ 所在直线 $y=3-x$（$x\in [0,2]$）旋转得底半径 3、高 3 的大圆锥 $V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 3=9\pi$；边界 $BC$（$y=x-1$，$x\in [1,2]$）旋转得底半径 1、高 1 的小圆锥，$x\in [0,1]$ 段旋转亦得同款小圆锥，共挖去 $V_2=2\cdot \frac{1}{3}\pi \cdot 1=\frac{2\pi }{3}$。故 $V=9\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{25\pi }{3}$。（亦可视为上底半径 1、下底半径 3、高 2 的圆台挖去一个圆锥：$\frac{\pi }{3}\cdot 2\cdot (9+3+1)-\frac{\pi }{3}=\frac{26\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{25\pi }{3}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体的体积

核心方法：四边形 $(0,0),(1,0),(2,1),(0,3)$ 绕 $x$ 轴：大圆锥挖去两个小圆锥。

避坑指南：$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 3-2\cdot \frac{1}{3}\pi \cdot 1=\frac{25\pi }{3}$。（★裁定：官方多源为四边形版答案 $\frac{25\pi }{3}$，答案册”三角形”版系丢顶点异文。）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体体积。

结论推广：大圆锥减小圆锥。

方法推广：分解基本立体。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-15 填-圆锥的体积
• 1988-广东理-11 单-正方体内切球的体积
• 1995-全国卷文-17 填-球内接圆台的体积之比