1983-全国文-13 解-动圆圆心的轨迹方程

本题导读

本题考查动圆圆心轨迹方程的求法。核心在于弦长定圆心到直线的距离，从而建立方程。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(文)）如图，已知两条直线 $L_{1} : 2 x - 3 y + 2 = 0$ ， $L_{2} : 3 x - 2 y + 3 = 0$ .有一动圆（圆心和半径都在变动）与 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 都相交，并且 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 $26$ ， $24$ .求圆心 $M$ 的轨迹方程，并说出轨迹的名称.

🔍【思路分析】

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设圆心 $M (x, y)$ ，半径 $r$ ，由弦长得 $r^{2} = d_{1}^{2} + 1 3^{2} = d_{2}^{2} + 1 2^{2}$ ，相减消 $r$ 。

✅【答案】

Success

$(x + 1)^{2} - y^{2} = 65$ ，轨迹是双曲线

✍【详细解析】

Abstract

设圆心 $M (x, y)$ ，半径为 $r$ ， $M$ 到 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 。弦长为 $26$ 、 $24$ ，故 $r^{2} = d_{1}^{2} + 1 3^{2}$ ， $r^{2} = d_{2}^{2} + 1 2^{2}$ ，相减得 $d_{2}^{2} - d_{1}^{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 25$ 。 $d_{1} = \frac{∣2 x - 3 y + 2∣}{13}$ ， $d_{2} = \frac{∣3 x - 2 y + 3∣}{13}$ ，故 $d_{2}^{2} - d_{1}^{2} = \frac{( 3 x - 2 y + 3 ) ^{2} - ( 2 x - 3 y + 2 ) ^{2}}{13} = 25$ 。展开分子： $(3 x - 2 y + 3)^{2} - (2 x - 3 y + 2)^{2} = 5 x^{2} - 5 y^{2} + 10 x + 5 = 5 (x^{2} - y^{2} + 2 x + 1)$ 。故 $\frac{5 ( x ^{2} - y ^{2} + 2 x + 1 )}{13} = 25$ ，即 $x^{2} - y^{2} + 2 x + 1 = 65$ ，配方得 $(x + 1)^{2} - y^{2} = 65$ 。这是以 $(- 1, 0)$ 为中心、实轴在 $x$ 轴上的双曲线，故轨迹为双曲线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：动圆圆心的轨迹方程

核心方法：弦长与点到线距离

避坑指南：弦长定半径与距离关系，由两弦长差得轨迹双曲线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：动点轨迹方程

结论推广：截弦长为定值的动圆圆心轨迹为双曲线

方法推广：弦长与距离的轨迹

🔗【关联脉络】

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18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

1985-广东理-28 单-动圆心的轨迹方程

1986-广东文-21 单-动圆心的轨迹方程

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