1985-广东理-28 单-动圆心的轨迹方程

本题导读

本题考查动圆圆心轨迹方程的建立。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 和 $y$ 轴相切，且和半圆 $x^2+y^2=4$（$0\le x\le 2$）相内切的动圆圆心的轨迹方程是 ()

A. $y^2=-4(x-1)$（$0<x\le 1$）

B. $y^2=4(x-1)$（$0<x\le 1$）

C. $y^2=4(x+1)$（$0<x\le 1$）

D. $y^2=-2(x-1)$（$0<x\le 1$）

E. $y^2=2(x+1)$（$0<x\le 1$）

🔍【思路分析】

破题导航

动圆与 $y$ 轴相切得 $|x|=r$，与半圆内切得圆心距 $=2-r$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设动圆圆心 $(x,y)$、半径 $r$。与 $y$ 轴相切且在半圆内（$x>0$），故 $r=x$。与圆 $x^2+y^2=4$ 内切，圆心距 $\sqrt{x^2+y^2}=2-r=2-x$。平方得 $x^2+y^2=(2-x{)}^2=4-4x+x^2$，即 $y^2=4-4x=-4(x-1)$。又 $0<x\le 1$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：动圆心的轨迹方程

核心方法：相切条件建立等式

避坑指南：与 $y$ 轴相切得 $|x|=r$，与半圆内切得圆心距关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：动圆轨迹方程的建立

结论推广：相切条件转化为坐标关系

方法推广：相切条件的坐标化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-21 单-动圆心的轨迹方程
• 1986-广东理-16 单-动圆心的轨迹方程