1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积

本题导读

本题考查篱笆围场的最值问题。核心在于设宽列面积式后用二次函数求最值。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(文)） 以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）.已知篱笆的总长为定值 $L$，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

设宽为 $x$，则长为 $L-3x$，面积 $S=x(L-3x)$，配方求最值。

✅【答案】

Success

宽为 $\frac{L}{6}$，长为 $\frac{L}{2}$ 时面积最大，最大面积为 $\frac{L^2}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

设场地的宽为 $x$（垂直于墙的边），长为 $y$（沿墙的边）。以墙为一边，另三边及一条隔断共需 $y+3x$ 长的篱笆，故 $y+3x=L$，即 $y=L-3x$。场地面积 $S=xy=x(L-3x)=-3x^2+Lx=-3{\left(x-\frac{L}{6}\right)}^2+\frac{L^2}{12}$。故当 $x=\frac{L}{6}$ 时面积最大，最大面积 $S_{\max }=\frac{L^2}{12}$，此时长 $y=L-3\times \frac{L}{6}=\frac{L}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：篱笆围场的最大面积

核心方法：设宽列式求最值

避坑指南：篱笆总长 $=$ 长 $+3\times$ 宽 $=L$，面积 $S=$ 长 $\times$ 宽，二次函数求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数的最值应用

结论推广：周长一定的矩形面积最大

方法推广：设参列式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1983-全国文-09 解-半圆内接矩形的最大面积
• 1985-全国文-08 填-二次函数闭区间最值