1983-全国文-09 解-半圆内接矩形的最大面积

本题导读

本题考查半圆内接矩形的最值问题。核心在于设顶点坐标表达面积后用基本不等式或参数法求最值。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(文)） 在圆心为 $O$、半径为常数 $R$ 的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积.

🔍【思路分析】

破题导航

设矩形长 $2x$、宽 $y$，则 $x^2+y^2=R^2$，面积 $S=2xy$，由基本不等式求最值。

✅【答案】

Success

长为 $\sqrt{2}R$，宽为 $\frac{\sqrt{2}}{2}R$ 时面积最大，最大面积为 $R^2$

✍【详细解析】

Abstract

设矩形一边（长）为 $2x$，另一边（宽）为 $y$，矩形顶点在半圆上，满足 $x^2+y^2=R^2$。矩形面积 $S=2xy$。由基本不等式 $x^2+y^2\ge 2xy$，即 $R^2\ge 2xy$，故 $S=2xy\le R^2$，当且仅当 $x=y$ 时取等号。此时 $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}R$，长 $=2x=\sqrt{2}R$，宽 $=y=\frac{\sqrt{2}}{2}R$，最大面积 $S_{\max }=R^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半圆内接矩形的最大面积

核心方法：坐标法设参求最值

避坑指南：设矩形顶点 $(x,y)$，面积 $S=2xy$，由 $x^2+y^2=R^2$ 求最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：内接矩形的最值

结论推广：半圆内接矩形面积最大时长为 $\sqrt{2}R$

方法推广：坐标设参求最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-14 填-内接矩形最值
• 1985-全国文-08 填-二次函数闭区间最值