1985-全国文-08 填-二次函数闭区间最值

本题导读

本题考查二次函数在闭区间上的最大值与最小值。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 求函数 $y=-x^2+4x-2$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值和最小值 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$y=-(x-2{)}^2+2$，对称轴 $x=2\in [0,3]$。

✅【答案】

Success

最大值 $2$，最小值 $-2$

✍【详细解析】

Abstract

化为顶点式 $y=-(x-2{)}^2+2$。当 $x=2$ 时，$y=2$，且 $2\in [0,3]$，所以最大值为 $2$。又 $x\in [0,3]$ 时 $-2\le x-2\le 1$，故 $0\le (x-2{)}^2\le 4$，从而 $y=2-(x-2{)}^2\ge -2$。当 $x=0$ 时等号成立，所以最小值为 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数闭区间最值

核心方法：$y=-(x-2{)}^2+2$，对称轴 $x=2\in [0,3]$。

避坑指南：最大值 $2$（$x=2$），最小值 $-2$（$x=0$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1988 广东文第 17 题同考二次函数值域。

结论推广：闭区间上的最值在对称轴或端点处取得。

方法推广：先配方，再比较顶点与两端点的函数值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-17 单-二次函数的值域
• 1993-上海-01 填-二次函数的最小值