1977-安徽理-02 解-槽截面二次函数

本题导读

本题考查二次函数建模与最值。核心在于槽宽 $=80-2x$ 建立函数后配方。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(理)） 用宽为 $80$ cm 的铁皮制作一个槽，槽的截面 $ABCD$ 是一个矩形： (1)求槽的截面积 $y$ 关于槽深 $x$ 的函数关系式.

(2)求出这个函数图象的顶点坐标，对称轴方程.

(3)当槽深为多少厘米时，槽的截面积最大？这个最大面积是多少平方厘米？

🔍【思路分析】

破题导航

槽深 $x$、槽宽 $80-2x$，$y=x(80-2x)$；配方 $y=-2(x-20{)}^2+800$；开口向下，顶点处取最大。

✅【答案】

Success

(1)$y=-2x^2+80x$(2)顶点 $(20,800)$，对称轴 $x=20$(3)槽深 $20$ cm 时最大截面积 $800$ cm${}^2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)若槽深为 $x$，则槽宽为 $80-2x$，所以槽的截面积 $y$ 关于槽深 $x$ 的函数关系式是 $y=x(80-2x)=-2x^2+80x$。

(2)$y=-2x^2+80x=-2(x-20{)}^2+800$。顶点坐标是 $(20,800)$，对称轴方程是 $x=20$。

(3)当 $x=20$ 时，$y$ 有极大值 $800$ cm${}^2$。答：当槽深为 $20$ cm 时，槽的截面积最大，这个最大截面积是 $800$ cm${}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：槽截面二次函数

核心方法：建模+配平方

避坑指南：$y=x(80-2x)=-2(x-20{)}^2+800$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最值

结论推广：顶点 $(20,800)$，$x=20$ 时 $y_{\max }=800$

方法推广：建模后配平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1985-全国文-08 填-二次函数闭区间最值