2000-广东卷理-21 解-分段函数的解析式求法

本题导读

本题考查函数模型的实际应用。第一问要求根据图象利用待定系数法分别求出分段线性函数（折线）与二次函数（抛物线）的解析式；第二问引入经济学模型，将纯收益转化为两函数之差，通过分段讨论二次函数的最值，求得全局最大值点。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(1) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 $p=f(t)$ 和图二表示的种植成本与时间的函数关系式 $Q=g(t)$；

(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 注：市场售价各种植成本的单位：元/$10^2\text{kg}$，时间单位：天.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解市场售价 $f(t)$：图一为分段线性函数。分区间 $0\le t\le 200$ 和 $200<t\le 300$。分别利用两点式或斜截式求出两条直线的方程。
2. 求解种植成本 $g(t)$：图二为抛物线。由图可知顶点坐标为 $(150,100)$，可设顶点式 $g(t)=a(t-150{)}^2+100$。代入另一已知点（如 $(0,212.5)$ 或其他明确对应点）求出系数 $a$。
3. 构建纯收益函数 $h(t)$：定义 $h(t)=f(t)-g(t)$。由于 $f(t)$ 是分段函数，故 $h(t)$ 也是分段函数，同样分为 $0\le t\le 200$ 和 $200<t\le 300$ 两个区间。
4. 分段计算最值并比较：在各个区间内，将 $h(t)$ 展开并配方化为标准二次函数形式，计算出区间内的最大值。最后对比两个区间的局部最大值，确定全局最大值及对应的上市时间 $t$。

✅【答案】

Success

(1) $f(t)=\{\begin{array}{ll}-t+300,& 0\le t\le 200\\ 2t-300,& 200<t\le 300\end{array}$，$g(t)=\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100$

(2) 从二月一日起第 50 天上市时纯收益最大

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求函数关系式 $p=f(t)$ 和 $Q=g(t)$：

• 求 $f(t)$ 的解析式： 由图一可知，该折线由两段线段组成。 当 $0\le t\le 200$ 时，直线过点 $(0,300)$ 和 $(200,100)$。 斜率 $k_1=\frac{100-300}{200-0}=-1$，截距为 $300$。故：$f(t)=-t+300$。 当 $200<t\le 300$ 时，直线过点 $(200,100)$ 和 $(300,300)$。 斜率 $k_2=\frac{300-100}{300-200}=2$。 由点斜式：$p-100=2(t-200)⟹f(t)=2t-300$。 综上所述，市场售价与时间的函数关系式为： $f(t)=\{\begin{array}{ll}-t+300,& 0\le t\le 200\\ 2t-300,& 200<t\le 300\end{array}$

• 求 $g(t)$ 的解析式： 由图二可知，抛物线的顶点坐标为 $(150,100)$，且过点 $(0,212.5)$，$(50,150)$，$(250,150)$。 设抛物线顶点式方程为： $g(t)=a(t-150{)}^2+100(a>0)$ 将点 $(50,150)$ 代入方程： $150=a(50-150{)}^2+100$ $50=a(-100{)}^2⟹50=10000a⟹a=\frac{1}{200}$ 将 $a$ 展开化简得到种植成本与时间的函数关系式为： $g(t)=\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100=\frac{1}{200}{t}^2-\frac{3}{2}t+\frac{225}{2}+100=\frac{1}{200}{t}^2-\frac{3}{2}t+\frac{425}{2}(0\le t\le 300)$

(2) 求解纯收益最大时的上市时间： 设纯收益为 $h(t)$，则 $h(t)=f(t)-g(t)$。根据 $f(t)$ 的分段区间，将 $h(t)$ 分段讨论：

• 情况一：当 $0\le t\le 200$ 时： $h(t)=(-t+300)-\left[\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100\right]$ $h(t)=-t+300-\frac{1}{200}{t}^2+\frac{3}{2}t-\frac{225}{2}-100$ $h(t)=-\frac{1}{200}{t}^2+\frac{1}{2}t+\frac{175}{2}$ 对该二次函数进行配方： $h(t)=-\frac{1}{200}(t^2-100t)+\frac{175}{2}=-\frac{1}{200}(t-50{)}^2+\frac{2500}{200}+\frac{175}{2}$ $h(t)=-\frac{1}{200}(t-50{)}^2+\frac{25}{2}+\frac{175}{2}=-\frac{1}{200}(t-50{)}^2+100$ 因为对称轴 $t=50$ 属于区间 $[0,200]$， 所以当 $t=50$ 时，$h(t)$ 取得该段的局部最大值：$h(50)=100$ 元/$10^2\text{kg}$。

• 情况二：当 $200<t\le 300$ 时： $h(t)=(2t-300)-\left[\frac{1}{200}(t-150{)}^2+100\right]$ $h(t)=2t-300-\frac{1}{200}{t}^2+\frac{3}{2}t-\frac{225}{2}-100$ $h(t)=-\frac{1}{200}{t}^2+\frac{7}{2}t-\frac{1025}{2}$ 对该二次函数进行配方： $h(t)=-\frac{1}{200}(t^2-700t)-\frac{1025}{2}=-\frac{1}{200}(t-350{)}^2+\frac{122500}{200}-\frac{1025}{2}$ $h(t)=-\frac{1}{200}(t-350{)}^2+\frac{1225}{2}-\frac{1025}{2}=-\frac{1}{200}(t-350{)}^2+100$ 该二次函数的对称轴为 $t=350$。因为在区间 $200<t\le 300$ 上，对称轴在区间的右侧， 根据二次函数的单调性，当 $t\le 350$ 时，该减函数开口向下、在对称轴左侧单调递增。 因此，在半闭区间 $(200,300]$ 上，$h(t)$ 在自变量最大的右端点 $t=300$ 处取得局部最大值： $h(300)=-\frac{1}{200}(300-350{)}^2+100=-\frac{2500}{200}+100=-12.5+100=87.5\text{ 元/}10^2\text{kg}$

全局最值比较： 比较两段的局部最大值：$100>87.5$。 因此，全寿命周期内的最大纯收益为 $100$，此时对应的上市时间为 $t=50$。

答： 从二月一日起第 50 天上市时，西红柿的纯收益最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数解析式的构建；含区间限制的二次函数轴迹（对称轴与区间的位置关系）最值分析。
2. 核心方法：待定系数法（解析式求解）；配方法（最值求解）。
3. 避坑指南：

• 第二问第二段区间 $(200,300]$ 的对称轴 $t=350$ 落在区间之外，切勿盲目将顶点值 $100$ 直接作为该段的最大值。必须依据二次函数的单调性确定在端点 $t=300$ 处取得最值。
• 求解 $g(t)$ 系数时，注意图上给出的离散对应点，选择整数坐标点 $(50,150)$ 计算，可使数据化简更准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将代数中的最值理论（二次方程配方）剥离出来，放入现实农业生产的“成本-售价-利润”模型中，是新课标高考应用题的核心代表。
2. 结论推广：对于分段目标函数 $H(t)=F(t)-G(t)$，各段的最值不仅取决于函数本身的极值（顶点），更受制于定义的截断边界。在实际工程决策或商业最优化问题中，必须求出各子集内的局部最优解，再进行全局常规大值比对（即运筹学规划的初级思想）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积