1977-安徽理-08 解-计数与归纳法

本题导读

本题考查排列计数与数学归纳法。核心在于”含两重复 $=$ 全体 $-$ 无重复 $-$ 三同”的补集思想，以及归纳递推中的拆项技巧。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(理)） (1)用 $0$ 到 $9$ 这 $10$ 个数字，可以排列成多少个含有两个重复数字的三位数？

(2)用数学归纳法证明 $x^n-y^n$ 能够被 $x-y$ 整除（$n$ 为自然数）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$10^3-10^2$ 为全体三位数，$A_{10}^3-A_9^2$ 为无重复者，$9$ 个为三同者，相减即得；(2)$n=1$ 奠基，$x^{k+1}-y^{k+1}=x(x^k-y^k)+y^k(x-y)$ 拆项凑归纳假设。

✅【答案】

Success

(1)$243$ 个(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)从 $0$ 到 $9$ 排成可以有重复数字的三位数的个数是 $10^3-10^2$。从 $0$ 到 $9$ 排成没有重复数字的三位数的个数是 $A_{10}^3-A_9^2$。同一个数字组成的三位数（如 $111$，$222$，…）有 $9$ 个。因此，从 $0$ 到 $9$ 这 $10$ 个数字可排成含有两个重复数字的三位数的个数是 $(10^3-10^2)-(A_{10}^3-A_9^2)-9=243$（个）。 (2)当 $n=1$ 时，$x^1-y^1$ 能够被 $x-y$ 整除，命题成立。假定当 $n=k$ 时命题成立，即 $x^k-y^k$ 能被 $x-y$ 整除。那么 $x^{k+1}-y^{k+1}=x\cdot x^k-y\cdot y^k+x{y}^k-x{y}^k=x(x^k-y^k)+y^k(x-y)$。因为 $y^k(x-y)$ 能被 $x-y$ 整除，由假定可知 $x(x^k-y^k)$ 也能够被 $x-y$ 整除，所以 $x^{k+1}-y^{k+1}$ 也能够被 $x-y$ 整除，即 $n=k+1$ 时命题也成立。根据数学归纳法原理，$n$ 为任何自然数时，$x^n-y^n$ 都能够被 $x-y$ 整除。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：计数与归纳法

核心方法：正难则反+归纳奠基

避坑指南：含两重复 = 全体 − 无重复 − 三同；$n=k$ 到 $k+1$ 拆项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两小题

结论推广：$243$ 个；归纳证整除

方法推广：补集思想；拆项凑归纳假设

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-05 单-排列计数（无重复数字的偶数）
• 1989-全国文-22 解-数学归纳法证明