1977-贵州-08 解-无穷等比和极限

本题导读

本题考查数列极限。核心在于识别无穷递缩等比数列，和式取 $\frac{1}{1-\cos a}$。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sin a\left(1+\cos a+{\cos }^{2}a+\cdots +{\cos }^{n}a\right)$（其中 $a$ 为任意实常数，$0<a<\frac{\pi }{2}$）.

🔍【思路分析】

破题导航

公比 $q=\cos a\in (0,1)$；和 $=\frac{1}{1-\cos a}$；$\frac{\sin a}{1-\cos a}=\cot \frac{a}{2}$。

✅【答案】

Success

$\cot \frac{a}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

数列 $1,\cos a,{\cos }^{2}a,\cdots ,{\cos }^{n}a,\cdots$ 为无穷递缩等比数列，其公比 $0<q=\cos a<1$。因此 $\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\cos a+\cdots +{\cos }^{n}a)=\frac{1}{1-\cos a}$。故原式的极限为 $\sin a\cdot \frac{1}{1-\cos a}=\frac{\sin a}{1-\cos a}=\frac{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}{2{\sin }^2\frac{a}{2}}=\cot \frac{a}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无穷等比和极限

核心方法：无穷等比求和公式

避坑指南：$\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\cos a}$，半角化 $\cot \frac{a}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限

结论推广：$\cot \frac{a}{2}$

方法推广：无穷递缩等比和公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1977-安徽理-08 解-计数与归纳法
• 1977-广西百色理-02 解-负指数幂计算