1977-云南-09 解-定积分换元

本题导读

本题考查定积分的换元积分法（参考题）。核心在于凑微分，令 $u=1+x^2$ 化为幂函数积分。

📌【题干】

Question

（1977年云南卷） 求 ${\int }_0^2\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (1+x^2{)}^{\prime }$，原函数为 $\sqrt{1+x^2}$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{5}-1$

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=1+x^2$，则 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$，$x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}u$。当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=2$ 时 $u=5$。故 ${\int }_0^2\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_1^5{u}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}u=\sqrt{u}{|}_1^5=\sqrt{5}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分换元

核心方法：凑微分 ∫x/√(1+x²)dx，令 u=1+x²

避坑指南：换元后上下限同步变换；结果 √5-1 需化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于定积分的换元积分法，被积函数分子恰为分母导数一半，是凑微分典型题。

结论推广：∫f′(x)/√f(x)dx = 2√f(x)+C 可推广到一般幂函数。

方法推广：识别 x 与 √(1+x²) 的导数关系是换元成功的关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-湖南-09 解-定积分两式
• 1977-浙江-13 解-不定积分