1977-湖南-09 解-定积分两式

本题导读

本题考查定积分计算。核心在于第一式分部积分、第二式三角代换化简后降幂。

📌【题干】

Question

（1977年湖南卷） 计算下列积分：(1)${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$；(2)${\int }_0^a{x}^2\sqrt{a^2-x^2}dx$（$a>0$）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$u=x$，$dv=e^{-x}dx$ 分部；(2)令 $x=a\sin t$，化 ${\sin }^{2}t{\cos }^{2}t$ 降幂积分。

✅【答案】

Success

(1)$1-\frac{2}{e}$(2)$\frac{\pi a^4}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=-{\int }_0^{1}xd\left(e^{-x}\right)=-x{e}^{-x}{|}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}dx=-\frac{1}{e}+{\left[-e^{-x}\right]}_0^1=-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+1=1-\frac{2}{e}$。 (2)令 $x=a\sin t$（$0\le t\le \frac{\pi }{2}$），则 $dx=a\cos tdt$，$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$。因此 ${\int }_0^a{x}^2\sqrt{a^2-x^2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{a}^4{\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt=\frac{a^4}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}2tdt=\frac{a^4}{8}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 4t)dt=\frac{a^4}{8}\left(t-\frac{1}{4}\sin 4t\right){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi a^4}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分两式

核心方法：分部积分与三角代换

避坑指南：${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$ 分部；第二式令 $x=a\sin t$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定积分

结论推广：(1)$1-\frac{2}{e}$(2)$\frac{\pi a^4}{16}$

方法推广：无理函数积分优先三角代换，降幂再积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.20 定积分与微积分基本定理 类题演练 (Links)

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