1977-西藏-10 解-定积分计算

本题导读

本题考查定积分计算（参考题）。核心在于凑微分 $\int \cos 2x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sin 2x$。

📌【题干】

Question

（1977年西藏卷） 计算定积分的值：${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2x\mathrm{d}x$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\int \cos 2x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sin 2x$，代入上下限。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2x\mathrm{d}(2x)=\frac{1}{2}\sin 2x{|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{2}\left(\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0\right)=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分计算

核心方法：凑微分 ∫cos2xdx=(1/2)sin2x，代入上下限

避坑指南：∫₀^{π/4}cos2xdx=(1/2)sin2x|₀^{π/4}=1/2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于定积分的基本计算，被积函数为 cos2x 的凑微分。

结论推广：∫cos(kx)dx=(1/k)sin(kx)+C 的凑微分形式可推广。

方法推广：注意 cos2x 要凑 d(2x)，积分上限 π/4 代入 sin(π/2)=1。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-云南-09 解-定积分换元
• 1977-湖南-09 解-定积分两式