1977-河南-12 解-对数求导与定积分

本题导读

本题考查导数与积分（参考题，大学内容）。核心在于(1)复合函数链式法则化简 $y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$；(2)凑微分 $d(2px)$ 幂函数积分。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） (1)设 $y=\ln (x+\sqrt{x^2-a^2})$，求 $y$ 的导数 $y^{\prime }$.

(2)求 ${\int }_0^{2p}\sqrt{2px}dx$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$y^{\prime }=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-a^2}}}{x+\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$；(2)${\int }_0^{2p}\sqrt{2px}dx=\frac{1}{2p}{\int }_0^{2p}\sqrt{2px}d(2px)=\frac{1}{3p}(2px{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^{2p}=\frac{8p^2}{3}$。

✅【答案】

Success

(1)$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$(2)$\frac{8p^2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由求导法则，$y^{\prime }=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-a^2}}}{x+\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$，且 $\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2-a^2}$。 (2)${\int }_0^{2p}\sqrt{2px}dx=\frac{1}{2p}{\int }_0^{2p}\sqrt{2px}d(2px)=\frac{1}{3p}(2px{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^{2p}=\frac{8p^2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数求导与定积分

核心方法：链式法则+凑微分

避坑指南：$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$；${\int }_0^{2p}\sqrt{2px}dx=\frac{1}{2p}{\int }_0^{2p}\sqrt{2px}d(2px)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求值

结论推广：$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$；$\frac{8p^2}{3}$

方法推广：凑微分

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-13 解-定积分证椭圆面积
• 1977-江西-21 解-抛物线围成面积定积分