1977-贵州-11 解-方向导数

本题导读

本题考查方向导数（参考题，大学内容照录）。核心在于极坐标化直角坐标定位点，方向余弦配偏导数。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 设某平板上任意一点的电势由 $E=\ln \rho$ 给出（$\rho \ge 1$），这里 $\rho$ 是以原点为起点的矢径.求在点 $\rho =5$，$\theta =\arcsin 0.8$ 处，沿此点至 $\rho =10$，$\theta =\frac{\pi }{2}$ 的方向 $E$ 的变化率.

🔍【思路分析】

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点化为 $(3,4)$，方向 $L=(-3,6)$；$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$、$\cos \beta =\frac{2}{\sqrt{5}}$；$\frac{\partial E}{\partial x}=\frac{x}{x^2+y^2}$。

✅【答案】

Success

变化率为 $\frac{\sqrt{5}}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

把极坐标化为直角坐标：$E=\ln \sqrt{x^2+y^2}$。点 $\rho =5$、$\theta =\arcsin 0.8$ 即 $(3,4)$（$\cos \theta =0.6$，$\sin \theta =0.8$）；终点 $\rho =10$、$\theta =\frac{\pi }{2}$ 即 $(0,10)$。从 $(3,4)$ 至 $(0,10)$ 的方向记为 $L$，则 $L=-3i+6j$，$|L|=3\sqrt{5}$。方向余弦 $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos \beta =\frac{2}{\sqrt{5}}$。又 $\frac{\partial E}{\partial x}=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\frac{\partial E}{\partial y}=\frac{y}{x^2+y^2}$。方向导数 $\frac{\partial E}{\partial L}=\frac{\partial E}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial E}{\partial y}\cos \beta$。在点 $(3,4)$ 处（$x^2+y^2=25$）：$\frac{\partial E}{\partial L}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{3}{25}+\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{4}{25}=\frac{5}{25\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{25}$。答：$E$ 在该点沿指定方向的变化率为 $\frac{\sqrt{5}}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方向导数

核心方法：方向导数公式

避坑指南：$\frac{\partial E}{\partial L}=\frac{\partial E}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial E}{\partial y}\cos \beta$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多元微分

结论推广：$\frac{\sqrt{5}}{25}$

方法推广：极坐标转直角坐标定位点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 1977-河南-12 解-对数求导与定积分
• 1977-重庆-10 解-三次函数极值