1977-重庆-12 解-二重积分

本题导读

本题考查二重积分。核心在于两曲线交点定限，先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 计算 $\underset{D}{\iint }(1+y^2)dxdy$，区域 $D$ 是 $y=x^2$，$x=y^2$ 所围成的区域.

🔍【思路分析】

破题导航

交点 $(0,0)$、$(1,1)$；$y$ 从 $x^2$ 到 $\sqrt{x}$；逐层积分得 $\frac{44}{105}$。

✅【答案】

Success

$\frac{44}{105}$

✍【详细解析】

Abstract

区域 $D$ 由 $y=x^2$ 与 $x=y^2$（即 $y=\sqrt{x}$）围成，交点为 $(0,0)$ 与 $(1,1)$。因此 $\underset{D}{\iint }(1+y^2)dxdy={\int }_0^1\left({\int }_{x^2}^{\sqrt{x}}(1+y^2)dy\right)dx={\int }_0^1\left[\left(y+\frac{y^3}{3}\right){|}_{x^2}^{\sqrt{x}}\right]dx={\int }_0^1\left(-\frac{x^6}{3}-x^2+\frac{x\sqrt{x}}{3}+\sqrt{x}\right)dx=\left(-\frac{x^7}{21}-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^2\sqrt{x}}{15}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right){|}_0^1=-\frac{1}{21}-\frac{1}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{3}=\frac{44}{105}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二重积分

核心方法：化二次累次积分

避坑指南：$y$ 从 $x^2$ 到 $\sqrt{x}$，$x$ 从 0 到 1

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二重积分

结论推广：$\frac{44}{105}$

方法推广：先 $y$ 后 $x$，曲线交点定限

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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