1977-新疆理-14 解-定积分求椭圆面积

本题导读

本题考查定积分求椭圆面积（参考题，大学内容）。核心在于化为标准方程后积分。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 利用定积分，求椭圆 $4x^2+25y^2=100$ 的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$，$S=4{\int }_0^{5}2\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}\mathrm{d}x$。

✅【答案】

Success

$10\pi$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$。面积 $S=4{\int }_0^{5}2\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}\mathrm{d}x=\frac{8}{5}{\int }_0^5\sqrt{5^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{4}{5}\left(x\sqrt{5^2-x^2}+5^2\arcsin \frac{x}{5}\right){|}_0^5=10\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分求椭圆面积

核心方法：定积分求椭圆面积（参考题，大学内容）

避坑指南：S=4∫₀⁵2√(1-x²/25)dx=10π。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于定积分求椭圆面积（参考题，大学内容）。

结论推广：椭圆面积 S=πab，可用定积分验证。

方法推广：半轴 a=5、b=2，S=π·5·2=10π。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-13 解-定积分证椭圆面积
• 1977-云南-09 解-定积分换元