1977-浙江-13 解-不定积分

本题导读

本题考查有理函数的不定积分（参考题，超出现行高中范围）。核心在于被积函数裂为部分分式之和。

📌【题干】

Question

（1977年浙江卷） 求不定积分 $\int \frac{6x^2+22x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx$.

🔍【思路分析】

破题导航

被积函数 $=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+3}$，逐项积分。

✅【答案】

Success

$\ln \left|(x+1)(x+2{)}^2(x+3{)}^3\right|+C$

✍【详细解析】

Abstract

$\int \frac{6x^2+22x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx=\int \left(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+3}\right)dx=\ln |x+1|+2\ln |x+2|+3\ln |x+3|+C=\ln \left|(x+1)(x+2{)}^2(x+3{)}^3\right|+C$，其中 $C$ 是任意常数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不定积分

核心方法：部分分式裂开

避坑指南：$\frac{6x^2+22x+18}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：积分

结论推广：$\ln \left|(x+1)(x+2{)}^2(x+3{)}^3\right|+C$

方法推广：部分分式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-14 解-微分方程