2004-重庆文-10 单-双曲线离心率最值

本题导读

本题考查双曲线的定义与离心率的最值。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $P$ 在双曲线的右支上，且 $|P{F}_1|=4|P{F}_2|$，则此双曲线的离心率 $e$ 的最大值为()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $\frac{5}{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\frac{7}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 由定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$，又 $|P{F}_1|=4|P{F}_2|$，得 $3|P{F}_2|=2a$，$|P{F}_2|=\frac{2a}{3}$。
2. 右支上 $|P{F}_2|⩾c-a$，故 $c-a⩽\frac{2a}{3}$。
3. $c⩽\frac{5a}{3}$，$e=\frac{c}{a}⩽\frac{5}{3}$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设半焦距为 $c$，则离心率 $e=\frac{c}{a}$.对右支上的点 $P$，由双曲线定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$，又 $|P{F}_1|=4|P{F}_2|$，得 $3|P{F}_2|=2a$，即 $|P{F}_2|=\frac{2a}{3}$.右焦点到右支上点的距离在右顶点处取得最小值 $c-a$，故 $c-a⩽\frac{2a}{3}$，即 $c⩽\frac{5a}{3}$，于是 $e=\frac{c}{a}⩽\frac{5}{3}$.当 $P$ 为右顶点且 $c=\frac{5a}{3}$ 时等号成立，故离心率的最大值为 $\frac{5}{3}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率最值
2. 核心方法：$|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$ 且 $|P{F}_1|=4|P{F}_2|$ 得 $|P{F}_2|=\frac{2a}{3}$；右支上 $|P{F}_2|⩾c-a$，故 $c-a⩽\frac{2a}{3}$，$e=\frac{c}{a}⩽\frac{5}{3}$
3. 避坑指南：$|P{F}_2|$ 在右顶点处取最小值 $c-a$；等号在 $P$ 为右顶点且 $c=\frac{5a}{3}$ 时取到，勿漏等号成立条件

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线定义与离心率，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：焦点到右支点距离在顶点处最小，$e=\frac{c}{a}$ 由此定界；用定义与焦半径范围求离心率最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-22 解-双曲线离心率范围
• 2004-湖南文-04 单-双曲线第二定义
• 2005-全国卷I文-05 单-双曲线准线离心率