2003-上海卷理-12 填-双曲线的定义

本题导读

本题是一道错解辨析型填空题，考查对双曲线定义的深刻理解。重点在于利用双曲线的几何性质及三角形两边之差与第三边的关系，对代数计算出的多解进行合宪性检验。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)）给出问题： $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1$ 的焦点，点 $P$ 在双曲线上.若点 $P$ 到焦点 $F_{1}$ 的距离等于 9，求点 $P$ 到焦点 $F_{2}$ 的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由 $∣∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣∣ = 8$ ，即 $∣9 - ∣ P F_{2} ∣∣ = 8$ ，得 $∣ P F_{2} ∣ = 1$ 或 $17$ .该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内________.

🔍【思路分析】

破题导航

基础参数计算：由双曲线方程 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1$ 得到 $a^{2} = 16, b^{2} = 20$ ，从而实轴长 $2 a = 8$ 。焦距平方 $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 16 + 20 = 36$ ，故焦距 $2 c = 12$ 。

焦半径的几何限制：双曲线上的点到焦点的最短距离为 $c - a$ 。计算出当前双曲线中点到焦点的最小距离限制。

三角形两边之差的几何限制：点 $P$ 与两个焦点 $F_{1}, F_{2}$ 构成的 $△ P F_{1} F_{2}$ 中，必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。即 $∣∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣∣ = 2 a = 8 < 2 c = 12$ 成立。同时还要满足 $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ > 2 c = 12$ 。

检验多解：将该学生算出的 $∣ P F_{2} ∣ = 1$ 和 $17$ 分别代入上述两个几何限制条件中进行检验，剔除不合题意的解。

✅【答案】

Success

$17$

✍【详细解析】

Abstract

该学生的解答不正确。

原因分析与正确求解如下： 由双曲线方程 $\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1$ 可得： $a = 4, b = 20$ 所以实轴长 $2 a = 8$ ，焦距 $2 c = 2 16 + 20 = 236 = 12$ 。

根据双曲线的几何性质，双曲线上的点到焦点的距离（焦半径）的取值范围是 $[c - a, + \infty)$ 。本题中： $c - a = 6 - 4 = 2$ 即双曲线上的任意点 $P$ 到任何一个焦点的距离都必须满足 $∣ P F ∣ \geq 2$ 。

该学生求出的两组解中：

当 $∣ P F_{2} ∣ = 17$ 时，满足 $∣ P F_{2} ∣ \geq 2$ ，且在 $△ P F_{1} F_{2}$ 中， $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 9 + 17 = 26 > 12$ （即两边之和大于第三边 $2 c$ ），此解成立；

当 $∣ P F_{2} ∣ = 1$ 时，由于 $1 < 2$ ，违背了焦半径 $∣ P F_{2} ∣ \geq c - a = 2$ 的几何性质。同时，在 $△ P F_{1} F_{2}$ 中， $∣ P F_{1} ∣ + ∣ P F_{2} ∣ = 9 + 1 = 10 < 12$ （两边之和小于第三边 $2 c$ ），无法构成三角形。故该解必须舍去。

综上所述，该学生的解答错误，正确的结果为 $17$ 。

故答案为 $17$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的定义 $∣∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣∣ = 2 a$ ；双曲线焦半径的最小值定理 $∣ P F ∣_{m i n} = c - a$ 。

核心方法：几何限界检验法。解析几何问题中，由代数方程求出的解只是可能值，必须代入图形的几何边界条件（如两点间距离、三角形三边关系、自变量定义域）进行二次筛选。

避坑指南：只顾代数运算，忽视几何背景。很多考生容易和该学生一样，认为列出双曲线定义的绝对值方程后，解出来的代数解就理所当然是答案，从而落入“多解”的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于圆锥曲线概念部分的“陷阱题”，旨在纠正学生在学习解析几何时“重代数、轻几何”的普遍偏好，是一道极为经典的辩证思维训练题。

结论推广: 对于双曲线 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ( $a > 0, b > 0$ )，已知 $∣ P F_{1} ∣ = m$ ，求 $∣ P F_{2} ∣$ 时：

若点 $P$ 在右支，则 $∣ P F_{1} ∣ - ∣ P F_{2} ∣ = 2 a ⟹ ∣ P F_{2} ∣ = m - 2 a$ 。此时需满足 $m - 2 a \geq c - a ⟹ m \geq c + a$ ；

若点 $P$ 在左支，则 $∣ P F_{2} ∣ - ∣ P F_{1} ∣ = 2 a ⟹ ∣ P F_{2} ∣ = m + 2 a$ 。此时需满足 $m \geq c - a$ 。结合本题， $m = 9$ ，由于 $c - a = 2, c + a = 10$ ，因为 $2 \leq 9 < 10$ ，说明点 $P$ 只能在左支（到右焦点 $F_{1}$ 距离为 9，到左焦点 $F_{2}$ 距离为 $9 + 8 = 17$ ），不可能在右支，从而在理论上直接锁定了单解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

1988-广东理-32 解-双曲线的几何性质

2004-重庆文-10 单-双曲线离心率最值

2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义

∑ ( Math )

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