2004-湖南文-04 单-双曲线第二定义

本题导读

本题考查双曲线的第二定义，以及离心率与准线距离的关系。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 如果双曲线 $\frac{x^2}{13}-\frac{y^2}{12}=1$ 上一点 $P$ 到右焦点的距离等于 $\sqrt{13}$，那么点 $P$ 到右准线的距离是()

A. $\frac{13}{5}$　　　　　　B. $13$　　　　　　C. $5$　　　　　　D. $\frac{5}{13}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=13$，$c^2=13+12=25$，$c=5$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{\sqrt{13}}$。
2. 第二定义 $\frac{|PF|}{d}=e$，故 $d=\frac{|PF|}{e}=\sqrt{13}\cdot \frac{\sqrt{13}}{5}=\frac{13}{5}$。
3. 选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线中 $a^2=13$，$b^2=12$，故 $c^2=a^2+b^2=25$，$c=5$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{\sqrt{13}}$.由第二定义，点 $P$ 到右焦点的距离与到右准线的距离之比等于离心率 $e$，即 $\frac{|PF|}{d}=e$，所以 $d=\frac{|PF|}{e}=\sqrt{13}\times \frac{\sqrt{13}}{5}=\frac{13}{5}$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线第二定义
2. 核心方法：$a^2=13$，$c^2=13+12=25$，$c=5$，离心率 $e=\frac{5}{\sqrt{13}}$；到右焦点距离与到右准线距离之比为 $e$，故 $\frac{\sqrt{13}}{d}=\frac{5}{\sqrt{13}}$，$d=\frac{13}{5}$
3. 避坑指南：第二定义：$\frac{|PF|}{d}=e$；$\frac{\sqrt{13}}{d}=\frac{5}{\sqrt{13}}$ 交叉得 $d=\frac{13}{5}$，勿把 $e$ 记成 $\frac{c}{a}$ 后误代

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线第二定义，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$\frac{|PF|}{d}=e$，$d$ 为到准线距离；用第二定义把焦点距离与准线距离挂钩

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-05 单-双曲线准线离心率
• 2004-天津文-05 单-双曲线渐近线与焦半径
• 2005-全国卷II文-06 单-双曲线渐近线方程