2004-天津文-05 单-双曲线渐近线与焦半径

本题导读

本题考查双曲线的渐近线与焦半径。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 $3x-2y=0$，$F_1,F_2$ 分别是双曲线的左、右焦点，若 $|P{F}_1|=3$，则 $|P{F}_2|=$()

A. $1$ 或 $5$　　　　　　B. $6$　　　　　　C. $7$　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 渐近线斜率 $\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，$b=3$，故 $a=2$。
2. $c^2=a^2+b^2=13$。
3. $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a=4$，$|P{F}_1|=3$，$|P{F}_2|=7$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ 的渐近线斜率的绝对值为 $\frac{3}{a}$，已知渐近线 $3x-2y=0$ 的斜率为 $\frac{3}{2}$，故 $\frac{3}{a}=\frac{3}{2}$，$a=2$.焦半距 $c^2=a^2+9=4+9=13$.双曲线上任一点到两焦点距离之差的绝对值为 $2a=4$，由 $|P{F}_1|=3$ 得 $|3-|P{F}_2||=4$，距离为正，故 $|P{F}_2|=7$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线与焦半径
2. 核心方法：渐近线 $3x-2y=0$ 斜率 $\frac{3}{2}=\frac{b}{a}$，故 $a=2$（$b=3$）；$c^2=a^2+9=13$；$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a=4$，$|P{F}_1|=3$ 得 $|P{F}_2|=7$
3. 避坑指南：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1$ 的 $b=3$，渐近线斜率 $\frac{b}{a}=\frac{3}{2}\Rightarrow a=2$；$|3-|P{F}_2||=4$，距离为正取 $7$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线的渐近线与焦半径，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 渐近线斜率 $\frac{b}{a}$，$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$；由渐近线定 $a$，再用焦半径差的绝对值定 $|P{F}_2|$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-北京春文-03 单-双曲线的渐近线
• 2011-天津卷文-06 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2012-天津卷文-11 填-双曲线渐近线与焦点