2005-全国卷II文-06 单-双曲线渐近线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与渐近线。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ 的渐近线方程是()

A. $y=\pm \frac{2}{3}x$　　　　　B. $y=\pm \frac{4}{9}x$　　　　　C. $y=\pm \frac{3}{2}x$　　　　　D. $y=\pm \sqrt{3}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中 $a^2=4$，$b^2=9$，即 $a=2$，$b=3$。
2. 焦点在 $x$ 轴时渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
3. 代入得 $y=\pm \frac{3}{2}x$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$． 本题 $a^2=4$，$b^2=9$，故 $a=2$，$b=3$，渐近线方程为 $y=\pm \frac{3}{2}x$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线方程

核心方法：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$；本题 $a=2,b=3$ 得 $y=\pm \frac{3}{2}x$

避坑指南：焦点在 $x$ 轴时渐近线斜率是 $\frac{b}{a}$（不是 $\frac{a}{b}$）；本题 $\frac{3}{2}$，别写成 $\frac{2}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线渐近线是基础送分题

结论推广：焦点在 $x$ 轴渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$

方法推广：由标准方程读 $a,b$ 直接写渐近线

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2009-大纲Ⅰ文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率