2004-全国卷IV文-22 解-双曲线离心率范围

本题导读

本题考查双曲线的离心率范围。核心在于把距离和不等式化为 $a,b$ 的齐次式求离心率范围。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>1$，$b>0$）的焦点距为 $2c$，直线 $l$ 过点 $(a,0)$ 和 $(0,b)$，且点 $(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离与点 $(-1,0)$ 到直线 $l$ 的距离之和 $s⩾\frac{4}{5}c$.求双曲线的离心率 $e$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $l:bx+ay-ab=0$，距离和 $s=\frac{2ab}{c}$。
2. $\frac{2ab}{c}⩾\frac{4}{5}c$，得 $5ab⩾2(a^2+b^2)$。
3. 令 $t=\frac{b}{a}$，解二次不等式，$e=\sqrt{1+t^2}$。

✅【答案】

Success

$\left[\frac{\sqrt{5}}{2},\sqrt{5}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即 $bx+ay-ab=0$.因 $a>1$，点 $(1,0)$、$(-1,0)$ 到 $l$ 的距离之和 $s=\frac{|b-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{|-b-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{b(a-1)+b(a+1)}{c}=\frac{2ab}{c}$，其中 $c^2=a^2+b^2$.由 $s⩾\frac{4}{5}c$ 得 $\frac{2ab}{c}⩾\frac{4}{5}c$，即 $5ab⩾2c^2=2(a^2+b^2)$.令 $t=\frac{b}{a}>0$，得 $5t⩾2(1+t^2)$，即 $2t^2-5t+2⩽0$，解得 $\frac{1}{2}⩽t⩽2$.离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+t^2}$，在 $\frac{1}{2}⩽t⩽2$ 上递增，故 $e\in \left[\frac{\sqrt{5}}{2},\sqrt{5}\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率范围
2. 核心方法：$l:bx+ay-ab=0$；距离和 $s=\frac{|b-ab|+|-b-ab|}{c}=\frac{2ab}{c}⩾\frac{4}{5}c$，得 $5ab⩾2(a^2+b^2)$；令 $t=\frac{b}{a}>0$，$2t^2-5t+2⩽0$，$\frac{1}{2}⩽t⩽2$，$e=\sqrt{1+t^2}\in \left[\frac{\sqrt{5}}{2},\sqrt{5}\right]$
3. 避坑指南：距离和利用 $a>1$ 去绝对值：$|b-ab|=b(a-1)$、$|-b-ab|=b(a+1)$；$e=\sqrt{1+t^2}$ 随 $t$ 递增

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线的离心率范围，教材”圆锥曲线”综合
2. 结论推广: 一般化：由几何条件（距离和不等式）化 $a,b$ 齐次式，令 $t=\frac{b}{a}$ 解范围；距离去绝对值、代入 $c^2=a^2+b^2$，令 $t=\frac{b}{a}$ 得二次不等式，$e=\sqrt{1+t^2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表

类题演练 (Links)

• 2006-福建文-11 单-双曲线离心率范围
• 2008-湖南文-10 单-双曲线离心率范围
• 2011-重庆卷文-09 单-双曲线离心率范围