2006-福建文-11 单-双曲线离心率范围

本题导读

本题考查双曲线的离心率，以及渐近线。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点为 $F$，若过点 $F$ 且倾斜角为 $60^{\circ }$ 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ()

A. $(1,2]$　　　　　B. $(1,2)$　　　　　C. $[2,+\infty )$　　　　　D. $(2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线斜率 $k=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$。
2. 过右焦点的直线与右支有且只有一个交点 $\iff$ 直线不比渐近线陡：$k⩽\frac{b}{a}$（$k>\frac{b}{a}$ 时与右支交于两点）。
3. 故 $\frac{b}{a}⩾\sqrt{3}$，$e^2=1+\frac{b^2}{a^2}⩾4$，$e⩾2$，范围 $[2,+\infty )$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

过右焦点 $F$、倾斜角为 $60^{\circ }$ 的直线斜率 $k=\sqrt{3}$。 双曲线渐近线的斜率为 $\pm \frac{b}{a}$。 当直线斜率 $k>\frac{b}{a}$ 时，直线从右焦点出发向右上、左下各穿过右支一次，与右支有两个交点； 当 $k⩽\frac{b}{a}$ 时，直线与右支有且只有一个交点。 所以 $\sqrt{3}⩽\frac{b}{a}$，即 $\frac{b^2}{a^2}⩾3$，$e^2=1+\frac{b^2}{a^2}⩾4$，$e⩾2$。 离心率的取值范围是 $[2,+\infty )$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率范围

核心方法：直线与渐近线斜率比较

避坑指南：过右焦点倾斜角 $60^{\circ }$ 与右支仅一交点 $\iff k⩽\frac{b}{a}$，即 $\frac{b}{a}⩾\sqrt{3}$，$e^2⩾4$，$e⩾2$；陡于渐近线会交右支两次

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自双曲线焦点弦与渐近线，离心率范围题

结论推广: 直线与右支交点个数 $\iff$ 斜率与 $\frac{b}{a}$ 比较

方法推广: 陡于渐近线交两支，平于渐近线交一支

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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