2004-全国卷I文-22 解-双曲线与直线交点求参

本题导读

本题考查直线与双曲线的位置关系。核心在于判别式定离心率范围、韦达定理与定比分点联立求参。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 设双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$（$a>0$）与直线 $l:x+y=1$ 相交于两个不同的点 $A$、$B$.

(1) 求双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围；

(2) 设直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$，且 $\overrightarrow{PA}=\frac{5}{12}\overrightarrow{PB}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入 $y=1-x$ 消元得 $(1-a^2)x^2+2a^{2}x-2a^2=0$。
2. 两不同交点：$1-a^2\ne 0$ 且 $\Delta =4a^2(2-a^2)>0$，即 $0<a^2<2$ 且 $a\ne 1$。
3. $e^2=1+\frac{1}{a^2}$ 分段得 $e$ 范围；（2）$P(0,1)$，由定比与韦达联立解 $a^2=\frac{289}{169}$。

✅【答案】

Success

(1) $e\in \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2},+\infty \right)$

(2) $a=\frac{17}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）将 $y=1-x$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 并整理，得 $(1-a^2)x^2+2a^{2}x-2a^2=0$.直线与双曲线有两个不同交点，须 $1-a^2\ne 0$ 且 $\Delta =4a^4+8a^2(1-a^2)=4a^2(2-a^2)>0$，结合 $a>0$ 得 $0<a^2<2$ 且 $a\ne 1$.$e^2=\frac{a^2+1}{a^2}=1+\frac{1}{a^2}$：当 $0<a^2<1$ 时 $e^2>2$，$e>\sqrt{2}$；当 $1<a^2<2$ 时 $\frac{3}{2}<e^2<2$，$\frac{\sqrt{3}}{2}<e<\sqrt{2}$.故 $e$ 的取值范围为 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2},+\infty \right)$. （2）$P(0,1)$.设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由 $\overrightarrow{PA}=\frac{5}{12}\overrightarrow{PB}$ 得 $x_1=\frac{5}{12}{x}_2$（$y$ 分量与 $y_i-1=-x_i$ 一致）．由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{2a^2}{1-a^2}$，$x_1{x}_2=-\frac{2a^2}{1-a^2}$.由 $x_1+x_2=\frac{17}{12}{x}_2$ 得 $x_2=-\frac{24a^2}{17(1-a^2)}$；代入 $x_1{x}_2=\frac{5}{12}{x}_2^2$：$-\frac{2a^2}{1-a^2}=\frac{240a^4}{289(1-a^2{)}^2}$，两边除以 $2a^2$ 并整理得 $-289(1-a^2)=120a^2$，即 $169a^2=289$，$a^2=\frac{289}{169}$，$a=\frac{17}{13}$（正值）．检验 $a^2=\frac{289}{169}\approx 1.71$ 满足 $0<a^2<2$ 且 $a\ne 1$，符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线与直线交点求参
2. 核心方法：（1）消元得 $(1-a^2)x^2+2a^{2}x-2a^2=0$，$\Delta =4a^2(2-a^2)>0$ 且 $a\ne 1$，$e\in (\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\infty )$；（2）$P(0,1)$，韦达定理+定比分点解得 $a=\frac{17}{13}$
3. 避坑指南：二次项系数 $1-a^2\ne 0$ 与 $\Delta >0$ 缺一不可；$e^2=1+\frac{1}{a^2}$ 按 $a^2\in (0,1)$、$(1,2)$ 分段——（2）由 $x_1{x}_2=\frac{5}{12}{x}_2^2$ 与韦达定理联立解 $a^2=\frac{289}{169}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直线与双曲线的位置关系与定比分点，教材”圆锥曲线”综合题
2. 结论推广: 一般化：直线与双曲线交点问题先保证二次项系数非零与 $\Delta >0$，向量关系坐标化；消元后判 $\Delta$，离心率由 $a$ 定；向量定比分点与韦达定理联立反求参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2006-福建文-11 单-双曲线离心率范围
• 2005-浙江卷文-13 填-双曲线的离心率
• 2006-陕西文-10 单-双曲线离心率