2006-陕西文-10 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线，以及渐近线。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$（$a>\sqrt{2}$）的两条渐近线的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，则双曲线的离心率为()

A. $2$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 渐近线为 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{a}x$，斜率 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{a}$。
2. 由 $a>\sqrt{2}$，令 $m=\frac{\sqrt{2}}{a}$，则 $0<m<1$。
3. 两渐近线锐角夹角为 $\frac{\pi }{3}$，由两直线夹角公式 $\tan \frac{\pi }{3}=\left|\frac{m-(-m)}{1+m(-m)}\right|=\frac{2m}{1-m^2}$。
4. $\frac{2m}{1-m^2}=\sqrt{3}$，即 $\sqrt{3}{m}^2+2m-\sqrt{3}=0$，解得 $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$a=\sqrt{6}$。
5. $c^2=a^2+2=8$，$c=2\sqrt{2}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的渐近线为 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{a}x$．由 $a>\sqrt{2}$，令 $m=\frac{\sqrt{2}}{a}$，则 $0<m<1$． 两条渐近线的锐角夹角为 $\frac{\pi }{3}$，由两直线夹角公式 $\tan \frac{\pi }{3}=\frac{2m}{1-m^2},$ 即 $\sqrt{3}{m}^2+2m-\sqrt{3}=0$，解得 $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$（负根舍去），从而 $a=\sqrt{6}$． 双曲线的半焦距满足 $c^2=a^2+2=8$，所以 $c=2\sqrt{2}$，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3},$ 选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率

核心方法：渐近线 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{a}x$，夹角 $\frac{\pi }{3}$，由 $\tan \frac{\pi }{3}=\frac{2m}{1-m^2}$（$m=\frac{\sqrt{2}}{a}$）得 $a=\sqrt{6}$，$e=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：$a>\sqrt{2}$ 保证 $0<m<1$；渐近线夹角用两直线夹角正切公式，勿与焦点三角形混淆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双曲线渐近线与离心率

结论推广: 渐近线夹角定 $a$，$e=\frac{c}{a}$

方法推广: 由渐近线斜率求 $a$，再算离心率

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-08 单-双曲线离心率
• 2008-陕西文-09 单-双曲线离心率
• 2008-安徽文-14 填-双曲线离心率
• 2008-湖南文-10 单-双曲线离心率范围