2003-天津文-06 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与离心率。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 双曲线虚轴的一个端点为 $M$，两个焦点为 $F_1,F_2$，$\angle F_{1}M{F}_2=120^{\circ }$，则双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 虚轴端点 $M(0,b)$，$M{F}_1=M{F}_2=\sqrt{b^2+c^2}$，$F_1{F}_2=2c$。
2. 余弦定理：$(2c{)}^2=2(b^2+c^2)-2(b^2+c^2)\cos 120^{\circ }=3(b^2+c^2)$。
3. $4c^2=3(b^2+c^2)$，$c^2=3b^2$，$c^2=a^2+b^2=3b^2$ 得 $a^2=2b^2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设虚轴端点为 $M(0,b)$，两焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，则 $M{F}_1=M{F}_2=\sqrt{b^2+c^2}$，$F_1{F}_2=2c$.由余弦定理 $F_1{F}_2^2=M{F}_1^2+M{F}_2^2-2M{F}_1\cdot M{F}_2\cos 120^{\circ }$，即 $4c^2=2(b^2+c^2)+b^2+c^2=3(b^2+c^2)$，故 $c^2=3b^2$.又 $c^2=a^2+b^2$，得 $a^2=2b^2$，故 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{3b^2}{2b^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率
2. 核心方法：虚轴端点 $M$，$M{F}_1=M{F}_2=\sqrt{b^2+c^2}$，$F_1{F}_2=2c$；由 $120^{\circ }$ 得 $4c^2=(b^2+c^2)+(b^2+c^2)-2(b^2+c^2)\cos 120^{\circ }$，$e=\frac{\sqrt{6}}{2}$
3. 避坑指南：虚轴端点 $M$ 到两焦点等距；用 $120^{\circ }$ 余弦定理列式求离心率

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：虚轴端点与两焦点构成等腰三角形，用余弦定理；由角求 $b,c$ 关系再求离心率

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-05 单-双曲线离心率
• 2006-陕西文-10 单-双曲线离心率
• 2008-浙江文-08 单-双曲线离心率