2003-大纲文-05 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的离心率与几何关系。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 双曲线虚轴的一个端点为 $M$，两个焦点为 $F_1,F_2$，$\angle F_{1}M{F}_2=120^{\circ }$，则双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $M$ 是虚轴端点，$M{F}_1=M{F}_2=\sqrt{b^2+c^2}$，$F_1{F}_2=2c$。
2. 余弦定理 $4c^2=2(b^2+c^2)-2(b^2+c^2)\cos 120^{\circ }=3(b^2+c^2)$。
3. $c^2=3b^2$，$a^2=c^2-b^2=2b^2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3b}}{\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设实半轴、虚半轴、焦半距分别为 $a,b,c$，则 $c^2=a^2+b^2$.因 $M$ 是虚轴端点，$M{F}_1=M{F}_2=\sqrt{b^2+c^2}$，$F_1{F}_2=2c$.在 $△F_{1}M{F}_2$ 中由余弦定理 $4c^2=2(b^2+c^2)-2(b^2+c^2)\cos 120^{\circ }=3(b^2+c^2)$，故 $c^2=3b^2$，$a^2=c^2-b^2=2b^2$.于是 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率
2. 核心方法：虚轴端点 $M$，$M{F}_1=M{F}_2=\sqrt{b^2+c^2}$，$F_1{F}_2=2c$；余弦 $4c^2=3(b^2+c^2)$ 得 $c^2=3b^2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3b}}{\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
3. 避坑指南：$M$ 是虚轴端点时 $M{F}_1=M{F}_2$；$a^2=c^2-b^2=2b^2$，$e=\frac{c}{a}$，勿把 $e$ 记成 $\frac{b}{a}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线离心率，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，由几何关系定 $a,c$ 比值；余弦定理定 $b,c$ 关系，再求 $e$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-08 单-双曲线渐近线离心率
• 2004-重庆文-10 单-双曲线离心率最值
• 2005-全国卷I文-05 单-双曲线准线离心率