2002-北京卷文-10 单-椭圆双曲线渐近线

本题导读

本题考查椭圆与双曲线的焦点，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{3m^2}+\frac{y^2}{5n^2}=1$ 和双曲线 $\frac{x^2}{2m^2}-\frac{y^2}{3n^2}=1$ 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()

A. $x=\pm \frac{\sqrt{15}}{2}y$　　　　B. $y=\pm \frac{\sqrt{15}}{2}x$　　　　C. $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}y$　　　　D. $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆 $c_1^2=3m^2-5n^2$，双曲线 $c_2^2=2m^2+3n^2$。
2. 公共焦点 $c_1^2=c_2^2$ 定 $m,n$ 关系。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

椭圆中 $c_1^2=3m^2-5n^2$，双曲线中 $c_2^2=2m^2+3n^2$，公共焦点得 $3m^2-5n^2=2m^2+3n^2$，即 $m^2=8n^2$．双曲线渐近线为 $y=\pm \frac{\sqrt{3n^2}}{\sqrt{2m^2}}x=\pm \sqrt{\frac{3n^2}{2m^2}}x=\pm \sqrt{\frac{3}{16}}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}x$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆双曲线渐近线

核心方法：椭圆 $c_1^2=3m^2-5n^2$，双曲线 $c_2^2=2m^2+3n^2$，公共焦点得 $m^2=8n^2$，双曲线渐近线 $y=\pm \frac{\sqrt{3n^2}}{\sqrt{2m^2}}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}x$

避坑指南：公共焦点令两 $c^2$ 相等定 $m,n$ 关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆与双曲线

结论推广：一般地，公共焦点令两 $c^2$ 相等

方法推广：焦点相同列等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-05 单-双曲线离心率
• 2003-天津文-06 单-双曲线离心率
• 2004-全国卷II文-15 填-椭圆与双曲线共焦点