2002-上海卷文-18 解-双曲线轨迹弦长

本题导读

本题考查双曲线的定义与轨迹方程，核心在于由距离之差的绝对值确定双曲线，再与直线联立求弦长。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 已知点 $A(-\sqrt{3},0)$ 和 $B(\sqrt{3},0)$，动点 $C$ 到 $A$、$B$ 两点的距离之差的绝对值为 $2$，点 $C$ 的轨迹与直线 $y=x-2$ 交于 $D$、$E$ 两点，求线段 $DE$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线定义得 $2a=2$，$2c=2\sqrt{3}$，$a=1$，$b^2=c^2-a^2=2$。
2. 轨迹 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$，与 $y=x-2$ 联立。
3. 弦长公式 $|DE|=\sqrt{2}\cdot |x_1-x_2|$。

✅【答案】

Success

$4\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $C(x,y)$，则 $||CA|-|CB||=2$，由双曲线定义，$2a=2$，$2c=|AB|=2\sqrt{3}$，故 $a=1$，$c=\sqrt{3}$，$b^2=c^2-a^2=2$，轨迹为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$．与 $y=x-2$ 联立，代入得 $x^2-\frac{(x-2{)}^2}{2}=1$，即 $2x^2-(x-2{)}^2=2$，$x^2+4x-6=0$，$\Delta =16+24=40>0$，有两交点．设 $D(x_1,y_1)$、$E(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=-4$，$x_1{x}_2=-6$．故 $|DE|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}=\sqrt{2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{2}\sqrt{16+24}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{40}=4\sqrt{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线轨迹弦长

核心方法：轨迹为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$，与 $y=x-2$ 联立得 $x^2-4x+6=0$，即 $x^2+4x-6=0$，$x_1+x_2=-4$，$x_1{x}_2=-6$，$|DE|=\sqrt{2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{2}\sqrt{16+24}=4\sqrt{5}$

避坑指南：双曲线与直线联立用弦长公式，$|DE|=\sqrt{2}\cdot |x_1-x_2|$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线定义与弦长

结论推广：一般地，轨迹求双曲线后与直线联立用弦长公式

方法推广：由距离之差定双曲线，联立求 $|x_1-x_2|$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-05 单-双曲线离心率
• 2004-福建文-13 填-圆的弦长