2004-湖北文-20 解-直线与双曲线

本题导读

本题考查直线与双曲线的位置关系。核心在于联立后用韦达定理，用”直径圆过焦点”的垂直条件（数量积为零）列方程，并结合参数范围取舍。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 直线 $l:y=kx+1$ 与双曲线 $C:2x^2-y^2=1$ 的右支交于不同的两点 $A$、$B$.

(1) 求实数 $k$ 的取值范围；

(2) 是否存在实数 $k$，使得以线段 $AB$ 为直径的圆经过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入得 $(2-k^2)x^2-2kx-2=0$，判别式 $\Delta >0$ 且两根皆正，得 $-2<k<-\sqrt{2}$。
2. 右焦点 $F(\frac{\sqrt{6}}{2},0)$，$\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=0$ 化简得 $5k^2+2\sqrt{6}k-6=0$。
3. 解得 $k=\frac{-6\pm \sqrt{6}}{5}$，仅 $\frac{-6-\sqrt{6}}{5}$ 在 $(-2,-\sqrt{2})$ 内，存在。

✅【答案】

Success

(1) $-2<k<-\sqrt{2}$

(2) 存在，$k=\frac{-6-\sqrt{6}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）将 $y=kx+1$ 代入 $2x^2-y^2=1$，得 $(2-k^2)x^2-2kx-2=0$.要有两个不同的实交点，必须判别式 $\Delta =4(4-k^2)>0$，即 $|k|<2$.当 $k=\pm \sqrt{2}$ 时二次项系数为零，方程退化为一次方程，只能得到一个交点，须排除。又两个交点在双曲线右支上，故 $x_1>0$，$x_2>0$：当 $|k|<\sqrt{2}$ 时 $x_1{x}_2=-\frac{2}{2-k^2}<0$，不可能两根都为正；当 $\sqrt{2}<|k|<2$ 时 $x_1{x}_2>0$ 且 $x_1+x_2=\frac{2k}{2-k^2}$，因分母为负，要使两根均为正须 $k<0$.故 $k$ 的取值范围为 $(-2,-\sqrt{2})$. （2）双曲线可写为 $\frac{x^2}{1/2}-y^2=1$，右焦点 $F\left(\frac{\sqrt{6}}{2},0\right)$.设两根为 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2=\frac{2k}{2-k^2}$，$x_1{x}_2=-\frac{2}{2-k^2}$.以 $AB$ 为直径的圆经过 $F$，等价于 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=0$，即 $(f-x_1)(f-x_2)+(k{x}_1+1)(k{x}_2+1)=0$，其中 $f=\frac{\sqrt{6}}{2}$.代入两根的和与积并化简（$f^2=\frac{3}{2}$），得 $5k^2+2\sqrt{6}k-6=0$，解得 $k=\frac{-6\pm \sqrt{6}}{5}$.结合（1）的范围 $(-2,-\sqrt{2})$，只有 $k=\frac{-6-\sqrt{6}}{5}\approx -1.69$ 符合，故存在这样的实数 $k$. （裁定：答案册文科段印 $k=\frac{-6+\sqrt{6}}{5}$ 系符号笔误，该值约 $-0.71$，不在 $(-2,-\sqrt{2})$ 内；复算判别式得两根 $\frac{-6\pm \sqrt{6}}{5}$，仅 $\frac{-6-\sqrt{6}}{5}$ 在范围内，与权威解法一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与双曲线
2. 核心方法：（1）代入 $y=kx+1$ 得 $(2-k^2)x^2-2kx-2=0$，$\Delta >0$ 且两根皆正：$-2<k<-\sqrt{2}$；（2）右焦点 $F(\frac{\sqrt{6}}{2},0)$，$FA\cdot FB=0$ 化简 $5k^2+2\sqrt{6}k-6=0$，$k=\frac{-6-\sqrt{6}}{5}$ 在范围内，存在
3. 避坑指南：两根皆正需 $x_1{x}_2>0$ 且 $x_1+x_2>0$；$k=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ 使二次项系数为零要排除；判别式解出两根后只留 $(-2,-\sqrt{2})$ 内的一根

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直线与双曲线位置关系，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$y=kx+m$ 与双曲线右支交于两点须 $\Delta >0$ 且两根同号且和号正确；过定点张直角用 $FA\cdot FB=0$；联立韦达定理，用垂直的数量积条件列方程，结合范围取舍

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-22 解-双曲线与直线交点求参
• 2005-北京卷文-20 解-双曲线轨迹与重心
• 2004-福建文-12 单-双曲线定义应用