2005-北京卷文-20 解-双曲线轨迹与重心

本题导读

本题考查轨迹方程、双曲线与直线和圆锥曲线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)）如图，直线 $l_{1} : y = k x$ （ $k > 0$ ）与直线 $l_{2} : y = - k x$ 之间的阴影区域（不含边界）记为 $W$ ，其左半部分记为 $W_{1}$ ，右半部分记为 $W_{2}$ ．

(1) 分别用不等式组表示 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ ；

(2) 若区域 $W$ 中的动点 $P (x, y)$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离之积等于 $d^{2}$ ，求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(3) 设不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 (2) 中的曲线 $C$ 相交于 $M_{1}$ ， $M_{2}$ 两点，且与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于 $M_{3}$ ， $M_{4}$ 两点．求证： $△ O M_{1} M_{2}$ 的重心与 $△ O M_{3} M_{4}$ 的重心重合．

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 左半区 $x < 0$ 时 $y$ 夹在 $k x$ 与 $- k x$ 之间，右半区相反。

(2) 距离积 $\frac{∣ k x - y ∣∣ k x + y ∣}{k ^{2} + 1} = d^{2}$ ，在 $W$ 内 $y^{2} < k^{2} x^{2}$ 去绝对值。

(3) 设 $l : y = m x + b$ （ $b \neq = 0$ ），联立得 $x_{1} + x_{2} = \frac{2 mb}{k ^{2} - m ^{2}}$ ；与两线交点横坐标和相等，纵坐标和随之相等，重心重合；竖直直线单独验证。

✅【答案】

Success

(1) $W_{1} = {(x, y) ∣ k x < y < - k x, x < 0}$ ， $W_{2} = {(x, y) ∣ - k x < y < k x, x > 0}$ ． (2) $k^{2} x^{2} - y^{2} - (k^{2} + 1) d^{2} = 0$ ． (3) 见解析．

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $x < 0$ 时， $k x < y < - k x$ ，所以 $W_{1} = {(x, y) ∣ k x < y < - k x, x < 0}$ ；当 $x > 0$ 时， $- k x < y < k x$ ，所以 $W_{2} = {(x, y) ∣ - k x < y < k x, x > 0}$ ． (2) 两直线的方程分别为 $k x - y = 0$ 和 $k x + y = 0$ ，所以点 $P (x, y)$ 到它们的距离之积为 $\frac{∣ k x - y ∣∣ k x + y ∣}{k ^{2} + 1}$ ．在区域 $W$ 内有 $y^{2} < k^{2} x^{2}$ ，从而 $k^{2} x^{2} - y^{2} = (k^{2} + 1) d^{2}$ ，即轨迹 $C$ 的方程为 $k^{2} x^{2} - y^{2} - (k^{2} + 1) d^{2} = 0$ ． (3) 先设 $l$ 不是竖直直线，写成 $y = m x + b$ ．因 $l$ 不过原点， $b \neq = 0$ ；又因 $l$ 与双曲线 $C$ 有两个交点， $m \neq = \pm k$ ．把 $y = m x + b$ 代入 $C$ ，交点横坐标 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $(k^{2} - m^{2}) x^{2} - 2 mb x - [b^{2} + (k^{2} + 1) d^{2}] = 0$ 的两个根，所以 $x_{1} + x_{2} = \frac{2 mb}{k ^{2} - m ^{2}}$ ．直线 $l$ 与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点横坐标分别为 $x_{3} = \frac{b}{k - m}$ ， $x_{4} = - \frac{b}{m + k}$ ，从而 $x_{3} + x_{4} = \frac{2 mb}{k ^{2} - m ^{2}} = x_{1} + x_{2}$ ．由于四点都在直线 $l$ 上， $y_{i} = m x_{i} + b$ ，故 $y_{1} + y_{2} = m (x_{1} + x_{2}) + 2 b = m (x_{3} + x_{4}) + 2 b = y_{3} + y_{4}$ ．于是两个三角形的三个顶点坐标和相同，且都含有顶点 $O$ ，所以它们的重心坐标分别为 $(\frac{x _{1} + x _{2}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2}}{3})$ 和 $(\frac{x _{3} + x _{4}}{3}, \frac{y _{3} + y _{4}}{3})$ ，二者相同．若 $l$ 是竖直直线 $x = c$ ，因 $l$ 不过原点有 $c \neq = 0$ ．曲线 $C$ 与它的两个交点的纵坐标互为相反数，故 $y_{1} + y_{2} = 0$ ；而 $M_{3} = (c, k c)$ ， $M_{4} = (c, - k c)$ ，也有 $y_{3} + y_{4} = 0$ ，并且 $x_{1} + x_{2} = x_{3} + x_{4} = 2 c$ ．因此这时两个三角形的重心也重合．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线轨迹与重心

核心方法：点到直线距离积列轨迹方程，韦达定理证重心重合

避坑指南：距离积 $\frac{∣ k ^{2} x ^{2} - y ^{2} ∣}{k ^{2} + 1} = d^{2}$ 在 $W$ 内去绝对值得 $k^{2} x^{2} - y^{2} - (k^{2} + 1) d^{2} = 0$ ；联立消元得 $x_{1} + x_{2} = x_{3} + x_{4}$ 、 $y_{1} + y_{2} = y_{3} + y_{4}$ ，重心重合；竖直直线情形需单独讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线轨迹方程与重心问题（综合）

结论推广：到两相交直线距离之积为定值的轨迹（对顶角区域内）是双曲线 $k^{2} x^{2} - y^{2} = (k^{2} + 1) d^{2}$

方法推广：直线与双曲线联立加韦达定理处理中点、对称与重心问题；竖直直线需单独讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.02 双曲线专题全总结

18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

2007-北京文-19 解-圆与双曲线轨迹

2016-全国卷III文-20 解-抛物线

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2005-北京卷文-20 解-双曲线轨迹与重心

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