2004-浙江文-22 解-双曲线与内心

本题导读

本题考查双曲线的方程，以及三角形内心的几何性质。核心在于用点到直线的距离公式确定参数范围，再利用内心在对称轴上的对称性简化，最后代入点解出双曲线方程。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为 $A(1,0)$，点 $P$、$Q$ 在双曲线的右支上，点 $M(m,0)$ 到直线 $AP$ 的距离为 $1$.

(1) 若直线 $AP$ 的斜率为 $k$，且 $|k|\in \left[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right]$，求实数 $m$ 的取值范围；

(2) 当 $m=\sqrt{2}+1$ 时，$△APQ$ 的内心恰好是点 $M$，求此双曲线的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $AP:kx-y-k=0$，$\frac{|k(m-1)|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，$|m-1|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$。
2. $|k|\in [\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}]$ 得 $\frac{2\sqrt{3}}{3}⩽|m-1|⩽2$，$m\in [-1,1-\frac{2\sqrt{3}}{3}]\cup [1+\frac{2\sqrt{3}}{3},3]$。
3. 内心 $M$ 在 $x$ 轴，$AP,AQ$ 关于 $x$ 轴对称，设 $P(x_0,y_0),Q(x_0,-y_0)$；$x_0-m=1$ 得 $x_0=2+\sqrt{2}$，$k=1$，$y_0=1+\sqrt{2}$；代入得 $b^2=\frac{1}{2\sqrt{2}-1}$，方程 $x^2-(2\sqrt{2}-1)y^2=1$。

✅【答案】

Success

(1) $m\in \left[-1,1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[1+\frac{2\sqrt{3}}{3},3\right]$

(2) $x^2-(2\sqrt{2}-1)y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）直线 $AP$ 的方程为 $y=k(x-1)$，即 $kx-y-k=0$.点 $M(m,0)$ 到该直线的距离为 $\frac{|k(m-1)|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，所以 $|m-1|=\frac{\sqrt{k^2+1}}{|k|}=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$.令 $t=|k|$，则 $t\in \left[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right]$，且 $\sqrt{1+t^{-2}}$ 随 $t$ 增大而减小，因此 $\frac{2\sqrt{3}}{3}⩽|m-1|⩽2$，从而 $m\in \left[-1,1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]\cup \left[1+\frac{2\sqrt{3}}{3},3\right]$. （2）设双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $b>0$.因为 $M$ 是三角形 $APQ$ 的内心，$AM$ 是顶点 $A$ 的角平分线，又 $A$、$M$ 均在 $x$ 轴上，所以 $AP$、$AQ$ 关于 $x$ 轴对称，双曲线也关于 $x$ 轴对称，故可设 $P=(x_0,y_0)$，$Q=(x_0,-y_0)$，其中 $x_0>1$，$y_0>0$.$PQ$ 为直线 $x=x_0$，由于 $M$ 是三角形 $APQ$ 的内点，且 $A=(1,0)$，故 $1<m<x_0$.内心到三边距离相等，点 $M$ 到直线 $AP$ 的距离为 $1$，所以 $x_0-m=1$，从而 $x_0=m+1=2+\sqrt{2}$.设直线 $AP$ 的斜率为正数 $k$，则 $\frac{k(m-1)}{\sqrt{k^2+1}}=1$，代入 $m-1=\sqrt{2}$，得 $\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{k^2+1}}=1$，从而 $k^2=1$，由于 $k>0$，故 $k=1$，进而 $y_0=k(x_0-1)=1+\sqrt{2}$.把点 $P=(2+\sqrt{2},1+\sqrt{2})$ 代入双曲线，得 $b^2=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^2}{(2+\sqrt{2}{)}^2-1}=\frac{3+2\sqrt{2}}{5+4\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}-1}$，因此双曲线方程为 $x^2-(2\sqrt{2}-1)y^2=1$.此时 $x_0>1$ 且 $y_0>0$，故 $P$、$Q$ 确在该双曲线的右支上；由对称性，点 $M$ 到 $AP$、$AQ$、$PQ$ 的距离均为 $1$，条件相容。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线与内心
2. 核心方法：（1）$AP:kx-y-k=0$，$\frac{|k(m-1)|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，$|m-1|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$；$|k|\in [\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}]$ 得 $\frac{2\sqrt{3}}{3}⩽|m-1|⩽2$，$m\in [-1,1-\frac{2\sqrt{3}}{3}]\cup [1+\frac{2\sqrt{3}}{3},3]$；（2）内心 $M$ 在 $x$ 轴，$AP,AQ$ 关于 $x$ 轴对称，设 $P(x_0,y_0),Q(x_0,-y_0)$；$x_0-m=1$ 得 $x_0=2+\sqrt{2}$，$k=1$，$y_0=1+\sqrt{2}$；代入 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 得 $b^2=\frac{1}{2\sqrt{2}-1}$，方程 $x^2-(2\sqrt{2}-1)y^2=1$
3. 避坑指南：点到直线距离列 $|m-1|$；内心到三边距离相等，由 $x_0-m=1$ 定 $x_0$；双曲线设 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 代点解 $b^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线与三角形内心，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$；内心到三边距离相等；距离公式定参数，对称性简化，代入点解双曲线方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-22 解-双曲线与直线交点求参
• 2004-全国卷III文-08 单-双曲线渐近线离心率
• 2005-浙江卷文-13 填-双曲线的离心率