2004-天津文-21 解-奇函数与极值单调性

本题导读

本题考查奇函数与导数的极值。核心在于由奇函数定常数项、由极值定参数，再求单调区间与证不等式。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+cx+d$（$a\ne 0$）是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x=1$ 时 $f(x)$ 取得极值 $-2$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间和极大值；

(2) 证明对任意 $x_1,x_2\in (-1,1)$，不等式 $|f(x_1)-f(x_2)|<4$ 恒成立.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇函数 $f(0)=0$，得 $d=0$。
2. $f(1)=-2$、$f^{\prime }(1)=0$ 联立求 $a,c$。
3. 求单调区间与极大值，用值域证不等式。

✅【答案】

Success

(1) 增区间 $(-\infty ,-1)$ 与 $(1,+\infty )$，减区间 $(-1,1)$，极大值 $2$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）因 $f(x)$ 是奇函数，$f(0)=0$，故 $d=0$.又 $x=1$ 是极值点，$f(1)=-2$、$f^{\prime }(1)=0$.$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c$，故 $a+c=-2$、$3a+c=0$，解得 $a=1$、$c=-3$.于是 $f(x)=x^3-3x$，$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.当 $x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，当 $x\in (-1,1)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$、$(1,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-1,1)$ 上单调递减，极大值为 $f(-1)=2$. （2）由单调性知，当 $-1<x<1$ 时 $-2<f(x)<2$.故对任意 $x_1,x_2\in (-1,1)$，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<2-(-2)=4$，结论得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数与极值单调性
2. 核心方法：（1）奇函数 $f(0)=0$ 得 $d=0$；$f(1)=-2$、$f^{\prime }(1)=0$ 得 $a=1,c=-3$，$f(x)=x^3-3x$；增 $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$、减 $(-1,1)$，极大 $f(-1)=2$；（2）$x\in (-1,1)$ 时 $-2<f(x)<2$，故 $|f(x_1)-f(x_2)|<4$
3. 避坑指南：奇函数过原点定 $d=0$；极值条件联立 $f(1),f^{\prime }(1)$；用值域 $-2<f(x)<2$ 证差 $<4$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于奇函数与导数极值，教材”导数在研究函数中的应用”
2. 结论推广: 一般化：奇函数 $f(0)=0$ 定常数项，极值条件联立求参数；$f(1)=-2$、$f^{\prime }(1)=0$ 联立；用单调区间上的值域证不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2006-安徽文-20 解-奇函数导数极值
• 2005-全国卷II文-21 解-三次函数极值与零点个数
• 2025-新高考II卷-10 多-奇函数与极值