2001-新课标理-08 单-三次函数极值

本题导读

本题考查导数的应用，以及三次函数的极值。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 函数 $y=1+3x-x^3$ 有()

A. 极小值 $-1$，极大值 $1$　　　　　　　　B. 极小值 $-2$，极大值 $3$

C. 极小值 $-2$，极大值 $2$　　　　　　　　D. 极小值 $-1$，极大值 $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=3-3x^2$，零点 $x=\pm 1$。
2. 判导数符号定极大极小，代入求值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime }=3-3x^2=3(1-x)(1+x)$．当 $x<-1$ 时 $y^{\prime }<0$，当 $-1<x<1$ 时 $y^{\prime }>0$，当 $x>1$ 时 $y^{\prime }<0$．故 $x=-1$ 处取极小值 $y=1-3+1=-1$，$x=1$ 处取极大值 $y=1+3-1=3$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值

核心方法：$y^{\prime }=3-3x^2$，$x=-1$ 处极小值 $1-3+1=-1$，$x=1$ 处极大值 $1+3-1=3$

避坑指南：导数零点分区间判符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材导数的应用

结论推广：一般地，三次函数极值由 $f^{\prime }(x)=0$ 的根两侧导数符号确定

方法推广：导数求极值代入检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-21 解-三次函数极值与单调
• 2005-全国卷I文-03 单-三次函数极值求参
• 2004-天津文-21 解-奇函数与极值单调性