2005-全国卷I文-03 单-三次函数极值求参

本题导读

本题考查利用导数研究三次函数的极值。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+3x-9$，已知 $f(x)$ 在 $x=-3$ 时取得极值，则 $a=$()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3$。
2. 极值点处导数为零：$f^{\prime }(-3)=27-6a+3=0$。
3. 解得 $a=5$，再用二阶导验证极值成立。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3$． 由 $f(x)$ 在 $x=-3$ 处取得极值，得 $f^{\prime }(-3)=3\times 9+2a\times (-3)+3=30-6a=0$，解得 $a=5$． 此时 $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$，$f^{\prime \prime }(-3)=-18+10=-8\ne 0$，确为极值点． 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值求参

核心方法：$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3$，$f^{\prime }(-3)=27-6a+3=0$ 得 $a=5$，再由 $f^{\prime \prime }(-3)=-8\ne 0$ 确认极值成立

避坑指南：$f^{\prime }(x_0)=0$ 只是极值的必要条件，严格说还需两侧变号（或二阶导非零）；求导时 $3x$ 的导数是 $3$ 别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数与极值，教材”导数在研究函数中的应用”基础题

结论推广：一般化：三次函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 在 $x_0$ 取极值 $⟺f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$

方法推广：极值求参先求导、代值列方程，再用二阶导或变号检验确认

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2009-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调与切线
• 2008-新课标Ⅰ文-21 解-导数切线定值
• 2006-全国卷I文-22 解-三次函数单调含参讨论