2005-全国卷II文-21 解-三次函数极值与零点个数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值与零点。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=x^3-x^2-x+a$．

(1)求 $f(x)$ 的极值；

(2)当 $a$ 在什么范围内取值时，曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴仅有一个交点．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导 $f^{\prime }(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$。
2. 极值点为 $x=-\frac{1}{3}$ 与 $x=1$，得极大 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=a+\frac{5}{27}$、极小 $f(1)=a-1$。
3. 与 $x$ 轴仅一交点 $\iff$ 极大极小同号，分类讨论 $a$。

✅【答案】

Success

(1) 极大值 $a+\frac{5}{27}$（在 $x=-\frac{1}{3}$ 处），极小值 $a-1$（在 $x=1$ 处）

(2) $a<-\frac{5}{27}$ 或 $a>1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$． 当 $x$ 依次经过 $-\frac{1}{3}$ 和 $1$ 时，$f^{\prime }(x)$ 符号依次为正、负、正，故 $x=-\frac{1}{3}$ 为极大值点、$x=1$ 为极小值点． 极大值 $f\left(-\frac{1}{3}\right)={\left(-\frac{1}{3}\right)}^3-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2-\left(-\frac{1}{3}\right)+a=a+\frac{5}{27}$， 极小值 $f(1)=1-1-1+a=a-1$． （2）当极大值 $a+\frac{5}{27}<0$，即 $a<-\frac{5}{27}$ 时，极大值小于零，曲线只在右侧上升段与 $x$ 轴相交一次； 当极小值 $a-1>0$，即 $a>1$ 时，极小值大于零，曲线只在左侧与 $x$ 轴相交一次； 当 $-\frac{5}{27}<a<1$ 时，极大值大于零且极小值小于零，有三个交点； 当 $a=-\frac{5}{27}$ 或 $a=1$ 时，一个极值点在 $x$ 轴上且另有一次穿轴，有两个不同交点． 故所求范围为 $a<-\frac{5}{27}$ 或 $a>1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与零点个数

核心方法：$f^{\prime }(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$；极大值 $f\left(-\frac{1}{3}\right)=a+\frac{5}{27}$，极小值 $f(1)=a-1$；仅一个零点需 $a<-\frac{5}{27}$ 或 $a>1$

避坑指南：三次函数与 $x$ 轴仅一交点 $\iff$ 极大极小同号（或退化为单增）；$a=-\frac{5}{27}$ 或 $a=1$ 时有两个交点，别误含等号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数极值与零点个数的分类讨论

结论推广：仅一个零点 $\iff$ 极值同号；等号情形有两个交点

方法推广：画三次函数草图，按极值符号分区间讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2009-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调与切线