2003-上海文-10 填-方程近似根

本题导读

本题考查函数的零点，以及方程的近似求根。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 方程 $x^3+\lg x=18$ 的根 $x\approx$ $\underline{}$.（结果精确到 $0.1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=x^3+\lg x$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增，零点唯一。
2. 试值逼近得 $x\approx 2.6$。

✅【答案】

Success

$2.6$

✍【详细解析】

Abstract

令 $f(x)=x^3+\lg x$，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，方程 $f(x)=18$ 有唯一根。由 $2.6^3=17.576$，$\lg 2.6\approx 0.415$，$f(2.6)\approx 17.991\approx 18$，故根 $x\approx 2.6$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：方程近似根
2. 核心方法：$x^3+\lg x=18$，$f(x)=x^3+\lg x$ 单调递增，二分或估值得 $x\approx 2.6$
3. 避坑指南：单调函数零点唯一，用逼近法取 0.1 精度

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材函数零点与近似解
2. 结论推广: 一般地，单调函数零点用二分法求近似根；构造单调函数，用逼近法取精度

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-21 解-三次函数极值与零点个数
• 2007-安徽文-11 单-奇周期函数零点个数
• 2005-福建卷文-12 单-周期偶函数的零点个数