2003-上海文-19 解-函数定义域奇偶单调

本题导读

本题考查函数的定义域、奇偶性与单调性。核心在于先求定义域再用定义法讨论。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-{\log }_2\frac{1+x}{1-x}$，求函数 $f(x)$ 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义域由 $x\ne 0$ 且 $\frac{1+x}{1-x}>0$ 确定。
2. 用 $f(-x)$ 判奇偶，定义法判单调。

✅【答案】

Success

定义域为 $(-1,0)\cup (0,1)$；$f(x)$ 为奇函数，在定义域内单调递减

✍【详细解析】

Abstract

由 $x\ne 0$ 且 $\frac{1+x}{1-x}>0$ 得 $-1<x<1$ 且 $x\ne 0$，故定义域为 $(-1,0)\cup (0,1)$.对定义域内任意 $x$，$f(-x)=-\frac{1}{x}-{\log }_2\frac{1-x}{1+x}=-\frac{1}{x}+{\log }_2\frac{1+x}{1-x}=-\left(\frac{1}{x}-{\log }_2\frac{1+x}{1-x}\right)=-f(x)$，故 $f(x)$ 为奇函数。在 $(0,1)$ 内，$\frac{1}{x}$ 递减，$\frac{1+x}{1-x}=\frac{2}{1-x}-1$ 递增，故 ${\log }_2\frac{1+x}{1-x}$ 递增，$-{\log }_2\frac{1+x}{1-x}$ 递减，于是 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 递减；由奇偶性，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 也递减，故在定义域内单调递减。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数定义域奇偶单调
2. 核心方法：定义域 $(-1,0)\cup (0,1)$；$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数；在 $(0,1)$ 内递减，由奇偶性在 $(-1,0)$ 也递减
3. 避坑指南：求定义域先看分母与对数真数，单调性用定义法

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材函数定义域与性质
2. 结论推广: 一般地，讨论奇偶与单调先求定义域；定义法证单调，奇偶性证另一侧单调

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-19 解-定义域与子集
• 2005-上海卷文-13 单-分式函数的单调性
• 2004-天津文-21 解-奇函数与极值单调性