2006-安徽文-20 解-奇函数导数极值

本题导读

本题考查函数的奇偶性。核心在于奇函数系数定参再求导判单调。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3+b{x}^2+cx$（$x\in \mathbf{R}$），已知 $g(x)=f(x)-f^{\prime }(x)$ 是奇函数。

(1) 求 $b$、$c$ 的值；

(2) 求 $g(x)$ 的单调区间与极值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$，$g(x)=x^3+(b-3)x^2+(c-2b)x-c$。
2. 奇函数展开式不含偶次项：$b-3=0$ 且 $-c=0$，得 $b=3$，$c=0$。
3. $g(x)=x^3-6x$，$g^{\prime }(x)=3x^2-6=3(x^2-2)$，驻点 $x=\pm \sqrt{2}$。
4. 导数符号定增减：$x<-\sqrt{2}$ 或 $x>\sqrt{2}$ 增，$-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ 减；极大值 $g(-\sqrt{2})=4\sqrt{2}$，极小值 $g(\sqrt{2})=-4\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

(1) $b=3$，$c=0$

(2) 增区间 $(-\infty ,-\sqrt{2})$ 和 $(\sqrt{2},+\infty )$，减区间 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$；极大值 $4\sqrt{2}$，极小值 $-4\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$， $g(x)=f(x)-f^{\prime }(x)=x^3+b{x}^2+cx-3x^2-2bx-c=x^3+(b-3)x^2+(c-2b)x-c$。 因为 $g(x)$ 是奇函数，对任意 $x$ 有 $g(-x)=-g(x)$，展开式中 $x^2$ 项与常数项必须为零： $b-3=0$，$-c=0$，即 $b=3$，$c=0$。 （检验：$g(x)=x^3-6x$，$g(-x)=-x^3+6x=-g(x)$，确为奇函数。） (2) $g(x)=x^3-6x$，$g^{\prime }(x)=3x^2-6=3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$。 当 $x<-\sqrt{2}$ 或 $x>\sqrt{2}$ 时 $g^{\prime }(x)>0$，当 $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ 时 $g^{\prime }(x)<0$。 所以 $g(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-\sqrt{2})$ 和 $(\sqrt{2},+\infty )$，单调递减区间为 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。 极大值 $g(-\sqrt{2})=(-\sqrt{2}{)}^3-6\times (-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}=4\sqrt{2}$； 极小值 $g(\sqrt{2})=(\sqrt{2}{)}^3-6\times \sqrt{2}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数导数极值

核心方法：奇函数充要条件定参再求导

避坑指南：$g(x)=x^3+(b-3)x^2+(c-2b)x-c$ 为奇函数须 $x^2$ 项与常数项为零：$b=3,c=0$，$g(x)=x^3-6x$，$g^{\prime }=3x^2-6$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自导数与奇函数的综合，含参三次函数

结论推广: $g=f-f^{\prime }$ 为奇函数定参推广到 $f\pm f^{\prime }$ 结构

方法推广: 奇函数充要：$x^2$ 项与常数项系数为零

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-17 解-奇函数定参与三次函数单调
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值
• 2008-安徽文-20 解-导数极值恒成立