2004-北京春文-18 解-椭圆轨道应用题

本题导读

本题考查椭圆方程的应用。核心在于由近地点、远地点定出椭圆参数，再求平均速度。

📌【题干】

Question

2003 年 10 月 15 日 9 时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行．该轨道是以地球的中心 $F_2$ 为一个焦点的椭圆．选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点．近地点 $A$ 距地面 $200$ km，远地点 $B$ 距地面 $350$ km．已知地球半径 $R=6371$ km． （1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； （2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于 16 日 5 时 59 分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约 $6\times 10^5$ km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少 km/s？（结果精确到 1 km/s）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 近地点 $A{F}_2=a-c=R+200=6571$，远地点 $B{F}_2=a+c=R+350=6721$。
2. 解得 $a=6646,c=75$，$b^2=a^2-c^2$。
3. 飞行时间 $74950$ s，$v=\frac{6\times 10^5}{74950}$。

✅【答案】

Success

（1）$\frac{x^2}{6646^2}+\frac{y^2}{44163691}=1$；（2）约 $8$ km/s

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆长半轴为 $a$、焦半距为 $c$、短半轴为 $b$．$F_2$ 是右焦点，$A$ 是近地点、$B$ 是远地点，故 $A{F}_2=a-c=6371+200=6571$，$B{F}_2=a+c=6371+350=6721$．因此 $2a=6571+6721=13292$，$2c=6721-6571=150$，得 $a=6646$、$c=75$．又 $b^2=a^2-c^2=6646^2-75^2=44163691$，故椭圆轨道方程为 $\frac{x^2}{6646^2}+\frac{y^2}{44163691}=1$． （2）从 15 日 9 时 9 分 50 秒到 16 日 5 时 59 分，共飞行 20 小时 49 分 10 秒，即 $20\times 3600+49\times 60+10=74950$ s．故平均速度 $v=\frac{6\times 10^5}{74950}\approx 8.005$ km/s，精确到 1 km/s 约为 $8$ km/s．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆轨道应用题

核心方法：（1）$A{F}_2=a-c=6571$、$B{F}_2=a+c=6721$，故 $a=6646,c=75$，$b^2=44163691$，椭圆 $\frac{x^2}{6646^2}+\frac{y^2}{44163691}=1$；（2）飞行 $74950$ s，$v=\frac{6\times 10^5}{74950}\approx 8$ km/s

避坑指南：近地点 $a-c$、远地点 $a+c$ 分别等于地球半径加高度；时间从 9:09:50 到次日 5:59 共 20h49m10s=74950s

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆的定义与方程，教材”圆锥曲线”

结论推广：一般化：近地点 $=a-c$、远地点 $=a+c$（含地球半径），由二者定 $a,c$

方法推广：$a-c=R+h_{\min }$、$a+c=R+h_{\max }$，联立解 $a,c$ 再求 $b$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-07 填-椭圆标准方程
• 2006-天津文-08 单-椭圆标准方程
• 2006-江苏卷-17 解-椭圆双曲线标准方程

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