2006-天津文-08 单-椭圆标准方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 椭圆的中心为点 $E(-1,0)$，它的一个焦点为 $F(-3,0)$，相应于焦点 $F$ 的准线方程为 $x=-\frac{7}{2}$，则这个椭圆的方程是()

A. $\frac{2(x-1{)}^2}{21}+\frac{2y^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　B. $\frac{2(x+1{)}^2}{21}+\frac{2y^2}{3}=1$

C. $\frac{(x-1{)}^2}{5}+y^2=1$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{(x+1{)}^2}{5}+y^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 中心 $(-1,0)$，焦点在中心左侧，故长轴在 $x$ 方向，半焦距 $c=2$。
2. 左准线 $x=-1-\frac{a^2}{c}=-\frac{7}{2}$，故 $\frac{a^2}{2}=\frac{5}{2}$，$a^2=5$。
3. $b^2=a^2-c^2=5-4=1$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

中心 $E(-1,0)$，焦点 $F(-3,0)$，故 $c=|-3-(-1)|=2$，长轴沿 $x$ 轴。 左准线方程为 $x=-1-\frac{a^2}{c}=-\frac{7}{2}$，即 $\frac{a^2}{2}=\frac{7}{2}-1=\frac{5}{2}$，故 $a^2=5$。 于是 $b^2=a^2-c^2=5-4=1$。 椭圆标准方程为 $\frac{(x+1{)}^2}{5}+\frac{y^2}{1}=1$，即 $\frac{(x+1{)}^2}{5}+y^2=1$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程

核心方法：由中心、焦点定 $c$，由准线方程反解 $a$

避坑指南：准线方程是 $x=-1-\frac{a^2}{c}$（中心在 $x=-1$，别忘减 1）；$c=2$ 是两点横坐标差，$b^2=a^2-c^2$ 要为正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆标准方程由几何量确定，是圆锥曲线基础题。

结论推广: 中心 $(-1,0)$ 的椭圆方程形如 $$\begin{gathered} dfrac(x+1{)}^2{a}^2+ \\ dfrac{y}^2{b}^2=1 \end{gathered}$$，准线 $$\begin{gathered} x=-1 \\ pm \\ dfrac{a}^{2}c \end{gathered}$$。

方法推广: 先定位中心与长轴方向，再用 $c$、准线反解 $a$，最后 $b^2=a^2-c^2$ 收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-07 单-椭圆方程与离心率
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-大纲卷文-08 单-椭圆标准方程