2005-上海卷文-07 填-椭圆标准方程

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 若椭圆长轴长与短轴长之比为 $2$，它的一个焦点是 $\left(2\sqrt{15},0\right)$，则椭圆的标准方程是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a=2b$，$c^2=a^2-b^2=60$，即 $4b^2-b^2=60$，$b^2=20$。
2. $a^2=80$，方程 $\frac{x^2}{80}+\frac{y^2}{20}=1$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{80}+\frac{y^2}{20}=1$

✍【详细解析】

Abstract

由长轴长与短轴长之比为 $2$，得 $a=2b$． 焦点 $\left(2\sqrt{15},0\right)$ 给出 $c^2=60$，而 $c^2=a^2-b^2=4b^2-b^2=3b^2$，故 $b^2=20$，$a^2=80$． 焦点在 $x$ 轴上，所求椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{80}+\frac{y^2}{20}=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程

核心方法：设 $a=2b$，由 $c^2=a^2-b^2=60$ 解出 $a^2,b^2$

避坑指南：焦点在 $x$ 轴，标准方程分母是 $a^2,b^2$ 而非 $a,b$；长轴与短轴之比是 $2$ 不是 $4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆几何量 $a,b,c$ 关系是圆锥曲线章起点

结论推广：由两个几何条件（比值 + 焦点）定 $a^2,b^2$ 是标准方程基本型

方法推广：设比例 $a=kb$ 转化为单变量求解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-07 单-椭圆