2004-全国卷I理-07 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的第一定义。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的两个焦点为 $F_1、F_2$，过 $F_1$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 $P$，则 $|\overrightarrow{P{F}_2}|=$ ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\frac{7}{2}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（消元椭圆核心参数）：由已知椭圆标准方程 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 直接读出 $a^2,b^2$，通过基本关系式 $c^2=a^2-b^2$ 计算出长半轴 $a$ 以及半焦距 $c$．
2. 第二步逻辑（确定点 $P$ 的几何量）：直线过焦点 $F_1$ 且垂直于焦点所在的 $x$ 轴。根据解析几何定义，交线段 $P_1{P}_2$ 属于该椭圆的通径。由此可直接写出点 $P$ 的纵坐标绝对值（即半通径长 $\frac{b^2}{a}$）或者通过将 $x_P=c$ 代入方程算出其精确坐标。
3. 第三步逻辑（利用第一定义秒杀求值）：利用椭圆第一定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和恒为定值 $2a$。由于第二步求得了 $|\overrightarrow{P{F}_1}|$，利用减法方程 $|\overrightarrow{P{F}_2}|=2a-|\overrightarrow{P{F}_1}|$ 直接输出最终解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：提取椭圆核心几何参数 已知椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\text{（式1）}$ 观察可得焦点位于 $x$ 轴上，其核心几何度规平方项分别为： $a^2=4,b^2=1\text{（式2）}$ 对（式2）的长轴平方项开算术平方根，求得长半轴长度： $a=2⟹2a=4\text{（式3）}$ 根据椭圆核心焦点三角恒等性质关系 $c^2=a^2-b^2$： $c^2=4-1=3⟹c=\sqrt{3}\text{（式4）}$ 由此可得两焦点坐标分别为 $F_1(-\sqrt{3},0)$ 和 $F_2(\sqrt{3},0)$。

• 第二步：计算交点 $P$ 引起的焦半径 $|\overrightarrow{P{F}_1}|$ 过左焦点 $F_1$ 作垂直于 $x$ 轴的直线，该直线的代数方程为： $x=-c=-\sqrt{3}\text{（式5）}$ 将（式5）的横坐标条件直接代入椭圆标准方程（式1）中，以求解交点 $P$ 的纵坐标： $\frac{(-\sqrt{3}{)}^2}{4}+y^2=1⟹\frac{3}{4}+y^2=1\text{（式6）}$ 移项化简（式6）： $y^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}⟹|y|=\frac{1}{2}\text{（式7）}$

  因为点 $P$ 是该垂直直线与椭圆的交点，且焦点 $F_1$ 的坐标为 $(-\sqrt{3},0)$。 由于点 $P$ 与点 $F_1$ 的横坐标严格全等（均在直线 $x=-\sqrt{3}$ 上），它们之间的几何距离 $|\overrightarrow{P{F}_1}|$ 严格等价于点 $P$ 的纵坐标绝对值（即椭圆的半通径长度 $\frac{b^2}{a}=\frac{1}{2}$）： $|\overrightarrow{P{F}_1}|=|y_P-0|=|y|=\frac{1}{2}\text{（式8）}$

• 第三步：利用定义方程求解 $|\overrightarrow{P{F}_2}|$ 根据椭圆的第一物理几何定义，椭圆图形上的任意点到左、右两焦点的欧氏距离之和恒等于长轴长度 $2a$： $|\overrightarrow{P{F}_1}|+|\overrightarrow{P{F}_2}|=2a\text{（式9）}$ 将（式3）求得的定值 $2a=4$ 与（式8）求得的左焦半径 $|\overrightarrow{P{F}_1}|=\frac{1}{2}$ 直接代入定义方程（式9）中： $\frac{1}{2}+|\overrightarrow{P{F}_2}|=4\text{（式10）}$ 对（式10）进行常数做差计算，直接输出最终解： $|\overrightarrow{P{F}_2}|=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆第一定义方程 $|\overrightarrow{P{F}_1}|+|\overrightarrow{P{F}_2}|=2a$；通径位置处特征点横坐标 $x=\pm c$ 导致的纵坐标退化性质。
2. 核心方法：定义法、坐标代入法。
3. 避坑指南：
   • 极其容易在求出点 $P\left(-\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$ 坐标后，盲目套用两点间距离公式去暴力计算 $|\overrightarrow{P{F}_2}|=\sqrt{(\sqrt{3}-(-\sqrt{3}){)}^2+(0-1/2{)}^2}=\sqrt{12+1/4}=\sqrt{49/4}=\frac{7}{2}$：虽然这种暴力代数运算法也能算出正确答案，但在考场上会无谓损耗超过 1 分钟的繁琐根式算力。请牢记圆锥曲线焦半径铁律：‘在椭圆或双曲线中，只要题目中同时出现了某个点到左、右两焦点的距离，或者过焦点引出了特殊的垂直弦，99% 的情况下无条件优先套用第一定义公式做减法变元，绝对不要动用两点距离公式去开方运算’。通过直接写下 $4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，可以在 3 秒钟内实现降维秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材解析几何“椭圆的标准方程与简单几何性质”章节课后核心标准经典必修训练大题，是高考考查圆锥曲线定义基本功最标准的送分低档选择题。
2. 结论推广: 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过焦点且垂直于长轴的弦（通径）长为 $\frac{2b^2}{a}$。通径一端到该焦点的焦半径为 $\frac{b^2}{a}=a(1-e^2)$，到另一焦点的焦半径为 $2a-\frac{b^2}{a}=a(1+e^2)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量
• 1985-广东文-24 单-椭圆的标准方程