2001-新课标理-21 解-冷却塔双曲线与旋转体体积

本题导读

本题考查双曲线的实际应用与旋转体的体积。核心在于建系用待定系数法求双曲线方程，再用截面积分求容积。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中 $A$，$A^{\prime }$ 是双曲线的顶点，$C$，$C^{\prime }$ 是冷却塔上口直径的两个端点，$B$，$B^{\prime }$ 是下底直径的两个端点.已知 $A{A}^{\prime }=14\mathrm{m}$，$C{C}^{\prime }=18\mathrm{m}$，$B{B}^{\prime }=22\mathrm{m}$，塔高 $20\mathrm{m}$.

(1) 建立坐标系并写出该双曲线方程；

(2) 求冷却塔的容积（精确到 $10{\mathrm{m}}^3$，塔壁厚度不计，$\pi$ 取 $3.14$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $A{A}^{\prime }$ 中点为原点、$A{A}^{\prime }$ 为 $x$ 轴建系，$a=7$，代入 $B$、$C$ 解 $b$。
2. 截面半径为 $x$，$V=\pi \int x^{2}dy$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{98}=1$；容积约 $4.25\times 10^3{\mathrm{m}}^3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 如图建立直角坐标系 $xOy$，$A{A}^{\prime }$ 在 $x$ 轴上，$A{A}^{\prime }$ 的中点为坐标原点 $O$，$C{C}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 平行于 $x$ 轴．设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$），则 $a=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }=7$．又设 $B(11,y_1)$，$C(9,y_2)$，因为 $B$，$C$ 在双曲线上，所以 $\{\begin{array}{l}\frac{11^2}{7^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1\\ \frac{9^2}{7^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1\\ y_2-y_1=20\end{array}$，解得 $y_1=-12$，$y_2=8$，$b=7\sqrt{2}$．故双曲线方程为 $\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{98}=1$． (2) 由双曲线方程得 $x^2=\frac{1}{2}{y}^2+49$．设冷却塔的容积为 $V{\mathrm{m}}^3$，则 $V=\pi {\int }_{-12}^8{x}^{2}dy=\pi {\int }_{-12}^8\left(\frac{1}{2}{y}^2+49\right)dy=\pi \left(\frac{1}{6}{y}^3+49y\right){|}_{-12}^8=\pi \left[\left(\frac{512}{6}+392\right)-(-288-588)\right]=1353\frac{1}{3}\pi \approx 3.14\times 1353.3\approx 4250$．故冷却塔的容积约为 $4.25\times 10^3{\mathrm{m}}^3$（精确到 $10{\mathrm{m}}^3$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：冷却塔双曲线与旋转体体积

核心方法：$a=7$，$B(11,y_1)$，$C(9,y_2)$ 代入得 $y_1=-12$，$y_2=8$，$b^2=98$，方程 $\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{98}=1$；$V=\pi {\int }_{-12}^8\left(\frac{y^2}{2}+49\right)dy\approx 4.25\times 10^3{\mathrm{m}}^3$

避坑指南：待定系数求双曲线，旋转体截面积分

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线与旋转体

结论推广：一般地，旋转体体积 $V=\pi \int x^{2}dy$

方法推广：待定系数 + 截面积分

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 2004-北京春文-18 解-椭圆轨道应用题
• 2003-大纲文-21 解-台风侵袭应用题
• 2010-天津文-13 填-双曲线方程