2003-大纲文-21 解-台风侵袭应用题

本题导读

本题考查解三角形的实际应用（台风问题）。核心在于把台风中心的运动坐标化，用距离等于半径的临界条件求时间。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 $O$（如图）的东偏南 $\theta$（$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{10}$）方向 $300$ km 的海面 $P$ 处，并以 $20$ km/h 的速度向西偏北 $45^{\circ }$ 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 $60$ km，并以 $10$ km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $O$ 为原点建系，$P_0=(300\cos \theta ,-300\sin \theta )$，$\sin \theta =\frac{7\sqrt{2}}{10}$。
2. $P_0=(30\sqrt{2},-210\sqrt{2})$，$P(t)=(30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t,-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t)$。
3. $r(t)=60+10t$，$OP(t{)}^2=400((t-12{)}^2+81)$，$OP=r$ 得 $t^2-36t+288=0$，第一次 $t=12$。

✅【答案】

Success

$12$ 小时后该城市开始受到台风的侵袭

✍【详细解析】

Abstract

以城市 $O$ 为原点，正东为 $x$ 轴正方向、正北为 $y$ 轴正方向，时间 $t$ 单位为小时。台风中心初始坐标 $P_0=(300\cos \theta ,-300\sin \theta )$，因 $\theta$ 为东偏南角且 $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{10}$，得 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，故 $P_0=(30\sqrt{2},-210\sqrt{2})$.台风向西偏北 $45^{\circ }$ 以 $20$ km/h 移动，$t$ 小时后中心 $P(t)=(30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t,-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t)$，半径 $r(t)=60+10t$.城市开始受侵袭的临界为 $OP(t)=r(t)$，而 $OP(t{)}^2=(30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t{)}^2+(-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t{)}^2=400\left((t-12{)}^2+81\right)$，故 $400((t-12{)}^2+81)=(60+10t{)}^2$，化简得 $t^2-36t+288=0$，即 $(t-12)(t-24)=0$，$t=12$ 或 $24$.因 $t=0$ 时 $OP(0)=300>60=r(0)$，第一次相切发生在 $t=12$，故 $12$ 小时后城市开始受侵袭。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：台风侵袭应用题
2. 核心方法：$P_0=(30\sqrt{2},-210\sqrt{2})$，$P(t)=(30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t,-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t)$，$r(t)=60+10t$；$O{P}^2=400((t-12{)}^2+81)$，$OP=r$ 得 $t^2-36t+288=0$，$t=12$ 或 $24$，第一次 $t=12$
3. 避坑指南：坐标化台风中心轨迹；$\sin \theta =\frac{7\sqrt{2}}{10}$；临界 $OP(t)=r(t)$，取第一次相切 $t=12$（舍 $t=24$）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于解三角形的实际应用，教材”解三角形”
2. 结论推广: 一般化：运动问题坐标化，临界条件为距离等于半径；坐标化轨迹，列 $OP=r$ 方程求时间

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2007-新课标Ⅰ文-17 解-解三角形的实际应用（测高）
• 2004-北京春文-18 解-椭圆轨道应用题
• 2004-福建文-20 解-数列求和应用