2004-福建文-20 解-数列求和应用

本题导读

本题考查数列求和的实际应用。核心在于分别求等差数列与等比数列的和，作差后判定单调性，代入临界值确定首次超过的年份。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)）某企业 $2003$ 年的纯利润为 $500$ 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 $20$ 万元，今年初该企业一次性投入资金 $600$ 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 $n$ 年（今年为第一年）的利润为 $500 (1 + \frac{1}{2 ^{n}})$ 万元（ $n$ 为正整数）．

(1) 设从今年起的前 $n$ 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 $A_{n}$ 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 $B_{n}$ 万元（须扣除技术改造资金），求 $A_{n}$ ， $B_{n}$ 的表达式；

(2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

🔍【思路分析】

破题导航

不改造第 $k$ 年利润 $500 - 20 k$ ， $A_{n} = 500 n - 20 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = 490 n - 10 n^{2}$ 。

$B_{n} = 500 n + 500 (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) - 600 = 500 n - \frac{500}{2 ^{n}} - 100$ 。

$D_{n} = B_{n} - A_{n} = 10 [n (n + 1) - \frac{50}{2 ^{n}} - 10]$ 递增， $D_{3} < 0$ ， $D_{4} > 0$ ，至少 $4$ 年。

✅【答案】

Success

(1) $A_{n} = 490 n - 10 n^{2}$ ， $B_{n} = 500 n - \frac{500}{2 ^{n}} - 100$

(2) 至少经过 $4$ 年

✍【详细解析】

Abstract

（1）不进行技术改造时，“从今年起每年比上一年纯利润减少 $20$ 万元”意味着第 $1$ 年（今年）纯利润为 $500 - 20 = 480$ 万元，第 $k$ 年为 $500 - 20 k$ 万元，所以 $A_{n} = k = 1 \sum n (500 - 20 k) = 500 n - 20 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = 490 n - 10 n^{2}$ .进行技术改造后，第 $k$ 年的利润为 $500 (1 + \frac{1}{2 ^{k}})$ 万元，且年初一次性扣除 $600$ 万元，因此 $B_{n} = k = 1 \sum n 500 (1 + \frac{1}{2 ^{k}}) - 600 = 500 n + 500 (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) - 600 = 500 n - \frac{500}{2 ^{n}} - 100$ . （2）令 $D_{n} = B_{n} - A_{n}$ ，则 $D_{n} = 10 n^{2} + 10 n - \frac{500}{2 ^{n}} - 100 = 10 [n (n + 1) - \frac{50}{2 ^{n}} - 10]$ .由于 $D_{n + 1} - D_{n} = 20 n + 20 + \frac{250}{2 ^{n}} > 0$ ，数列 ${D_{n}}$ 递增。又 $D_{3} = 10 (12 - \frac{50}{8} - 10) = - 42.5 < 0$ ， $D_{4} = 10 (20 - \frac{50}{16} - 10) = 68.75 > 0$ ，所以仅当 $n ⩾ 4$ 时 $B_{n} > A_{n}$ ，即从今年起至少经过 $4$ 年，技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。（裁定：答案册按”第 $k$ 年利润 $500 - 20 (k - 1)$ “求得 $A_{n} = 510 n - 10 n^{2}$ 、结论”至少 $5$ 年”，与官方解答不符；查官方解答及多处权威转录（含理科卷同题）， $A_{n} = 490 n - 10 n^{2}$ 、“至少 $4$ 年”，故从官方。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列求和应用

核心方法： $A_{n} = (500 - 20) + (500 - 40) + \dots + (500 - 20 n) = 490 n - 10 n^{2}$ ； $B_{n} = 500 n - \frac{500}{2 ^{n}} - 100$ ； $D_{n} = B_{n} - A_{n} = 10 [n (n + 1) - \frac{50}{2 ^{n}} - 10]$ 递增， $n ⩽ 3$ 时 $D_{n} < 0$ ， $n ⩾ 4$ 时 $D_{n} > 0$ ，至少 4 年

避坑指南：“从今年起每年比上一年减少20”意味着第 1 年（今年）利润已是 $480$ ；作差后判单调，代入 $n = 3, 4$ 定临界

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于等差、等比数列求和的实际应用，教材”数列”

结论推广: 一般化：两种方案累计差 $D_{n}$ 的单调性定临界年份；分别求和，作差研究单调性，代入临界值判断

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.02 等比数列全总结

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

2006-辽宁文-20 解-等差数列与对数数列求和

2009-大纲Ⅱ文-17 解-等差数列求和

2009-山东卷文-20 解-等比数列求和

∑ ( Math )

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2004-福建文-20 解-数列求和应用

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