2006-辽宁文-20 解-等差数列与对数数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项与前n项和。核心在于前n项和定首项公差。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=p{n}^2-2n+q$（$p\in \mathbf{R}$，$q\in \mathbf{R}$），$n\in {\mathbf{N}}_{+}$． （1）求 $q$ 的值； （2）若 $a_1$ 与 $a_5$ 的等差中项为 $18$，$b_n$ 满足 $a_n=2{\log }_2{b}_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差数列前 $n$ 项和是 $n$ 的二次式且无常数项，故 $q=0$。
2. $a_1=S_1=p-2$，$a_5=S_5-S_4=9p-2$；等差中项为 $18$ 即 $\frac{a_1+a_5}{2}=18$，解得 $p=4$。
3. $a_n=S_n-S_{n-1}=8n-6$。
4. 由 $a_n=2{\log }_2{b}_n$ 得 $b_n=2^{\frac{a_n}{2}}=2^{4n-3}$，是首项 $2$、公比 $2^4=16$ 的等比数列。
5. 前 $n$ 项和 $\frac{2(16^n-1)}{16-1}=\frac{2}{15}(16^n-1)$。

✅【答案】

Success

(1)$q=0$

(2)数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{2}{15}(16^n-1)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）等差数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数且常数项为零， 由 $S_n=p{n}^2-2n+q$ 得 $q=0$． （2）$a_1=S_1=p-2$，$a_5=S_5-S_4=(25p-10)-(16p-8)=9p-2$． 由 $a_1$ 与 $a_5$ 的等差中项为 $18$，得 $\frac{a_1+a_5}{2}=\frac{(p-2)+(9p-2)}{2}=\frac{10p-4}{2}=18$， 解得 $p=4$． 于是 $a_n=S_n-S_{n-1}=4n^2-2n-\left[4(n-1{)}^2-2(n-1)\right]=8n-6$． 由 $a_n=2{\log }_2{b}_n$，得 $b_n=2^{\frac{a_n}{2}}=2^{4n-3}$， 故 $\{b_n\}$ 是首项 $b_1=2$、公比 $2^4=16$ 的等比数列， 其前 $n$ 项和为 $\frac{2(16^n-1)}{16-1}=\frac{2}{15}(16^n-1)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与对数数列求和

核心方法：前n项和定首项公差，对数化指求通项，等比数列求和

避坑指南：等差前 $n$ 项和无常数项 $q=0$；等差中项定 $p=4$，$a_n=8n-6$，$b_n=2^{4n-3}$ 是公比 $16$ 的等比数列，和 $\frac{2}{15}(16^n-1)$；$a_n=2{\log }_2{b}_n$ 要两边除以 $2$ 再化指数，别忘 $\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等差数列与对数数列求和，数列综合题

结论推广: 前 $n$ 项和定首项公差，$a_n=2{\log }_2{b}_n$ 化指数得 $b_n$ 为等比数列

方法推广: 对数化指构造等比数列是”等差通项配对数”题的常见套路

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-新课标Ⅰ文-17 解-等差数列前n项和最值
• 2011-新课标Ⅰ文-17 解-等比数列与对数求和